-2x^2+12x-14>0 lösen

$$- 2 x ^ { 2 } + 12 x - 14 > 0$$

Für x lösen

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Multiplizieren Sie die Ungleichung mit -1, um den Koeffizienten mit der höchsten Potenz in -2x^{2}+12x-14 positiv zu machen. Da -1 negativ ist, wird die Richtung der Ungleichung geändert.

$$2x^{2}-12x+14<0$$

Um die Ungleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite. Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$2x^{2}-12x+14=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch -12 und c durch 14.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 2\times 14}}{2\times 2}$$

Berechnungen ausführen.

$$x=\frac{12±4\sqrt{2}}{4}$$

Lösen Sie die Gleichung x=\frac{12±4\sqrt{2}}{4}, wenn ± Plus ist und wenn ± minus ist.

$$x=\sqrt{2}+3 x=3-\sqrt{2}$$

Die Ungleichung umschreiben, indem Sie die erhaltenen Lösungen verwenden.

$$2\left(x-\left(\sqrt{2}+3\right)\right)\left(x-\left(3-\sqrt{2}\right)\right)<0$$

Damit das Produkt negativ ist, müssen x-\left(\sqrt{2}+3\right) und x-\left(3-\sqrt{2}\right) gegensätzliche Vorzeichen haben. Erwägen Sie den Fall, wenn x-\left(\sqrt{2}+3\right) positiv und x-\left(3-\sqrt{2}\right) negativ ist.

$$x-\left(\sqrt{2}+3\right)>0 x-\left(3-\sqrt{2}\right)<0$$

Dies ist falsch für alle x.

$$x\in \emptyset$$

Erwägen Sie den Fall, wenn x-\left(3-\sqrt{2}\right) positiv und x-\left(\sqrt{2}+3\right) negativ ist.

$$x-\left(3-\sqrt{2}\right)>0 x-\left(\sqrt{2}+3\right)<0$$

Die Lösung, die beide Ungleichungen erfüllt, lautet x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right).

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Die endgültige Lösung ist die Vereinigung der erhaltenen Lösungen.

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$