-18a^2-102a+168 lösen

$$- 18 a ^ { 2 } - 102 a + 168$$

Faktorisieren

$$6\left(-a-7\right)\left(3a-4\right)$$

Lösungsschritte

Klammern Sie 6 aus.

$$6\left(-3a^{2}-17a+28\right)$$

Betrachten Sie -3a^{2}-17a+28. Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als -3a^{2}+pa+qa+28 umgeschrieben werden. Um p und q zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$p+q=-17 pq=-3\times 28=-84$$

Weil pq negativ ist, haben p und q entgegengesetzte Vorzeichen. Weil p+q negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -84 ergeben.

$$1,-84 2,-42 3,-28 4,-21 6,-14 7,-12$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-84=-83 2-42=-40 3-28=-25 4-21=-17 6-14=-8 7-12=-5$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -17 ergibt.

$$p=4 q=-21$$

-3a^{2}-17a+28 als \left(-3a^{2}+4a\right)+\left(-21a+28\right) umschreiben.

$$\left(-3a^{2}+4a\right)+\left(-21a+28\right)$$

Klammern Sie -a in der ersten und -7 in der zweiten Gruppe aus.

$$-a\left(3a-4\right)-7\left(3a-4\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3a-4 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3a-4\right)\left(-a-7\right)$$

Schreiben Sie den vollständigen, faktorisierten Ausdruck um.

$$6\left(3a-4\right)\left(-a-7\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$-18a^{2}-102a+168=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$a=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{\left(-102\right)^{2}-4\left(-18\right)\times 168}}{2\left(-18\right)}$$

-102 zum Quadrat.

$$a=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{10404-4\left(-18\right)\times 168}}{2\left(-18\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -18.

$$a=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{10404+72\times 168}}{2\left(-18\right)}$$

Multiplizieren Sie 72 mit 168.

$$a=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{10404+12096}}{2\left(-18\right)}$$

Addieren Sie 10404 zu 12096.

$$a=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{22500}}{2\left(-18\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 22500.

$$a=\frac{-\left(-102\right)±150}{2\left(-18\right)}$$

Das Gegenteil von -102 ist 102.

$$a=\frac{102±150}{2\left(-18\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -18.

$$a=\frac{102±150}{-36}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung a=\frac{102±150}{-36}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 102 zu 150.

$$a=\frac{252}{-36}$$

Dividieren Sie 252 durch -36.

$$a=-7$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung a=\frac{102±150}{-36}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 150 von 102.

$$a=-\frac{48}{-36}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-48}{-36} um den niedrigsten Term, indem Sie 12 extrahieren und aufheben.

$$a=\frac{4}{3}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} -7 und für x_{2} \frac{4}{3} ein.

$$-18a^{2}-102a+168=-18\left(a-\left(-7\right)\right)\left(a-\frac{4}{3}\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$-18a^{2}-102a+168=-18\left(a+7\right)\left(a-\frac{4}{3}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{4}{3} von a, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$-18a^{2}-102a+168=-18\left(a+7\right)\times \frac{-3a+4}{-3}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 3 in -18 und 3 aufheben.

$$-18a^{2}-102a+168=6\left(a+7\right)\left(-3a+4\right)$$

Auswerten

$$168-102a-18a^{2}$$