-16t^2+96t-108 lösen

$$- 16 t ^ { 2 } + 96 t - 108$$

Faktorisieren

$$4\left(3-2t\right)\left(2t-9\right)$$

Lösungsschritte

Klammern Sie 4 aus.

$$4\left(-4t^{2}+24t-27\right)$$

Betrachten Sie -4t^{2}+24t-27. Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als -4t^{2}+at+bt-27 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=24 ab=-4\left(-27\right)=108$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 108 ergeben.

$$1,108 2,54 3,36 4,27 6,18 9,12$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+108=109 2+54=56 3+36=39 4+27=31 6+18=24 9+12=21$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 24 ergibt.

$$a=18 b=6$$

-4t^{2}+24t-27 als \left(-4t^{2}+18t\right)+\left(6t-27\right) umschreiben.

$$\left(-4t^{2}+18t\right)+\left(6t-27\right)$$

Klammern Sie -2t in der ersten und 3 in der zweiten Gruppe aus.

$$-2t\left(2t-9\right)+3\left(2t-9\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 2t-9 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(2t-9\right)\left(-2t+3\right)$$

Schreiben Sie den vollständigen, faktorisierten Ausdruck um.

$$4\left(2t-9\right)\left(-2t+3\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$-16t^{2}+96t-108=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$t=\frac{-96±\sqrt{96^{2}-4\left(-16\right)\left(-108\right)}}{2\left(-16\right)}$$

96 zum Quadrat.

$$t=\frac{-96±\sqrt{9216-4\left(-16\right)\left(-108\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -16.

$$t=\frac{-96±\sqrt{9216+64\left(-108\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Multiplizieren Sie 64 mit -108.

$$t=\frac{-96±\sqrt{9216-6912}}{2\left(-16\right)}$$

Addieren Sie 9216 zu -6912.

$$t=\frac{-96±\sqrt{2304}}{2\left(-16\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 2304.

$$t=\frac{-96±48}{2\left(-16\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -16.

$$t=\frac{-96±48}{-32}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung t=\frac{-96±48}{-32}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -96 zu 48.

$$t=-\frac{48}{-32}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-48}{-32} um den niedrigsten Term, indem Sie 16 extrahieren und aufheben.

$$t=\frac{3}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung t=\frac{-96±48}{-32}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 48 von -96.

$$t=-\frac{144}{-32}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-144}{-32} um den niedrigsten Term, indem Sie 16 extrahieren und aufheben.

$$t=\frac{9}{2}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{3}{2} und für x_{2} \frac{9}{2} ein.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\left(t-\frac{3}{2}\right)\left(t-\frac{9}{2}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{3}{2} von t, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{-2t+3}{-2}\left(t-\frac{9}{2}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{9}{2} von t, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{-2t+3}{-2}\times \frac{-2t+9}{-2}$$

Multiplizieren Sie \frac{-2t+3}{-2} mit \frac{-2t+9}{-2}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{\left(-2t+3\right)\left(-2t+9\right)}{-2\left(-2\right)}$$

Multiplizieren Sie -2 mit -2.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{\left(-2t+3\right)\left(-2t+9\right)}{4}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 4 in -16 und 4 aufheben.

$$-16t^{2}+96t-108=-4\left(-2t+3\right)\left(-2t+9\right)$$

Auswerten

$$-16t^{2}+96t-108$$