-16t^2+64t+80=128 lösen

$$- 16 t ^ { 2 } + 64 t + 80 = 128$$

Nach t auflösen

$$t=1$$

$$t=3$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Subtrahieren Sie 128 von beiden Seiten.

$$-16t^{2}+64t+80-128=0$$

Subtrahieren Sie 128 von 80, um -48 zu erhalten.

$$-16t^{2}+64t-48=0$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 16.

$$-t^{2}+4t-3=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als -t^{2}+at+bt-3 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=4 ab=-\left(-3\right)=3$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Das einzige derartige Paar ist die Lösung des Systems.

$$a=3 b=1$$

-t^{2}+4t-3 als \left(-t^{2}+3t\right)+\left(t-3\right) umschreiben.

$$\left(-t^{2}+3t\right)+\left(t-3\right)$$

Klammern Sie -t in -t^{2}+3t aus.

$$-t\left(t-3\right)+t-3$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term t-3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(t-3\right)\left(-t+1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie t-3=0 und -t+1=0.

$$t=3 t=1$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-16t^{2}+64t+80=128$$

128 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$-16t^{2}+64t+80-128=128-128$$

Die Subtraktion von 128 von sich selbst ergibt 0.

$$-16t^{2}+64t+80-128=0$$

Subtrahieren Sie 128 von 80.

$$-16t^{2}+64t-48=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -16, b durch 64 und c durch -48, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-64±\sqrt{64^{2}-4\left(-16\right)\left(-48\right)}}{2\left(-16\right)}$$

64 zum Quadrat.

$$t=\frac{-64±\sqrt{4096-4\left(-16\right)\left(-48\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -16.

$$t=\frac{-64±\sqrt{4096+64\left(-48\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Multiplizieren Sie 64 mit -48.

$$t=\frac{-64±\sqrt{4096-3072}}{2\left(-16\right)}$$

Addieren Sie 4096 zu -3072.

$$t=\frac{-64±\sqrt{1024}}{2\left(-16\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 1024.

$$t=\frac{-64±32}{2\left(-16\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -16.

$$t=\frac{-64±32}{-32}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung t=\frac{-64±32}{-32}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -64 zu 32.

$$t=-\frac{32}{-32}$$

Dividieren Sie -32 durch -32.

$$t=1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung t=\frac{-64±32}{-32}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 32 von -64.

$$t=-\frac{96}{-32}$$

Dividieren Sie -96 durch -32.

$$t=3$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$t=1 t=3$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-16t^{2}+64t+80=128$$

80 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$-16t^{2}+64t+80-80=128-80$$

Die Subtraktion von 80 von sich selbst ergibt 0.

$$-16t^{2}+64t=128-80$$

Subtrahieren Sie 80 von 128.

$$-16t^{2}+64t=48$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -16.

$$\frac{-16t^{2}+64t}{-16}=\frac{48}{-16}$$

Division durch -16 macht die Multiplikation mit -16 rückgängig.

$$t^{2}+\frac{64}{-16}t=\frac{48}{-16}$$

Dividieren Sie 64 durch -16.

$$t^{2}-4t=\frac{48}{-16}$$

Dividieren Sie 48 durch -16.

$$t^{2}-4t=-3$$

Dividieren Sie -4, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -2 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -2 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$t^{2}-4t+\left(-2\right)^{2}=-3+\left(-2\right)^{2}$$

-2 zum Quadrat.

$$t^{2}-4t+4=-3+4$$

Addieren Sie -3 zu 4.

$$t^{2}-4t+4=1$$

Faktor t^{2}-4t+4. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(t-2\right)^{2}=1$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(t-2\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Vereinfachen.

$$t-2=1 t-2=-1$$

Addieren Sie 2 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$t=3 t=1$$