-14x^2+x+4=0 lösen

$$- 14 x ^ { 2 } + x + 4 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{4}{7}\approx 0,571428571$$

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als -14x^{2}+ax+bx+4 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=1 ab=-14\times 4=-56$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -56 ergeben.

$$-1,56 -2,28 -4,14 -7,8$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+56=55 -2+28=26 -4+14=10 -7+8=1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 1 ergibt.

$$a=8 b=-7$$

-14x^{2}+x+4 als \left(-14x^{2}+8x\right)+\left(-7x+4\right) umschreiben.

$$\left(-14x^{2}+8x\right)+\left(-7x+4\right)$$

Klammern Sie 2x in -14x^{2}+8x aus.

$$2x\left(-7x+4\right)-7x+4$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term -7x+4 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(-7x+4\right)\left(2x+1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie -7x+4=0 und 2x+1=0.

$$x=\frac{4}{7} x=-\frac{1}{2}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-14x^{2}+x+4=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -14, b durch 1 und c durch 4, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-14\right)\times 4}}{2\left(-14\right)}$$

1 zum Quadrat.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-14\right)\times 4}}{2\left(-14\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -14.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+56\times 4}}{2\left(-14\right)}$$

Multiplizieren Sie 56 mit 4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+224}}{2\left(-14\right)}$$

Addieren Sie 1 zu 224.

$$x=\frac{-1±\sqrt{225}}{2\left(-14\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 225.

$$x=\frac{-1±15}{2\left(-14\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -14.

$$x=\frac{-1±15}{-28}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-1±15}{-28}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -1 zu 15.

$$x=\frac{14}{-28}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{14}{-28} um den niedrigsten Term, indem Sie 14 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-1±15}{-28}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 15 von -1.

$$x=-\frac{16}{-28}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-16}{-28} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{4}{7}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-\frac{1}{2} x=\frac{4}{7}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-14x^{2}+x+4=0$$

4 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$-14x^{2}+x+4-4=-4$$

Die Subtraktion von 4 von sich selbst ergibt 0.

$$-14x^{2}+x=-4$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -14.

$$\frac{-14x^{2}+x}{-14}=-\frac{4}{-14}$$

Division durch -14 macht die Multiplikation mit -14 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{1}{-14}x=-\frac{4}{-14}$$

Dividieren Sie 1 durch -14.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x=-\frac{4}{-14}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-4}{-14} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x=\frac{2}{7}$$

Dividieren Sie -\frac{1}{14}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{28} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{28} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x+\left(-\frac{1}{28}\right)^{2}=\frac{2}{7}+\left(-\frac{1}{28}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{28}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x+\frac{1}{784}=\frac{2}{7}+\frac{1}{784}$$

Addieren Sie \frac{2}{7} zu \frac{1}{784}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x+\frac{1}{784}=\frac{225}{784}$$

Faktor x^{2}-\frac{1}{14}x+\frac{1}{784}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{1}{28}\right)^{2}=\frac{225}{784}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{784}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{1}{28}=\frac{15}{28} x-\frac{1}{28}=-\frac{15}{28}$$

Addieren Sie \frac{1}{28} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{4}{7} x=-\frac{1}{2}$$