-y^2+10y+400=0 lösen

$$- { y }^{ 2 } +10y+400=0$$

Nach y auflösen

$$y=5\sqrt{17}+5\approx 25,615528128$$

$$y=5-5\sqrt{17}\approx -15,615528128$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-y^{2}+10y+400=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -1, b durch 10 und c durch 400, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-1\right)\times 400}}{2\left(-1\right)}$$

10 zum Quadrat.

$$y=\frac{-10±\sqrt{100-4\left(-1\right)\times 400}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -1.

$$y=\frac{-10±\sqrt{100+4\times 400}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 4 mit 400.

$$y=\frac{-10±\sqrt{100+1600}}{2\left(-1\right)}$$

Addieren Sie 100 zu 1600.

$$y=\frac{-10±\sqrt{1700}}{2\left(-1\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 1700.

$$y=\frac{-10±10\sqrt{17}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -1.

$$y=\frac{-10±10\sqrt{17}}{-2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{-10±10\sqrt{17}}{-2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -10 zu 10\sqrt{17}.

$$y=\frac{10\sqrt{17}-10}{-2}$$

Dividieren Sie -10+10\sqrt{17} durch -2.

$$y=5-5\sqrt{17}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{-10±10\sqrt{17}}{-2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 10\sqrt{17} von -10.

$$y=\frac{-10\sqrt{17}-10}{-2}$$

Dividieren Sie -10-10\sqrt{17} durch -2.

$$y=5\sqrt{17}+5$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$y=5-5\sqrt{17} y=5\sqrt{17}+5$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-y^{2}+10y+400=0$$

400 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$-y^{2}+10y+400-400=-400$$

Die Subtraktion von 400 von sich selbst ergibt 0.

$$-y^{2}+10y=-400$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -1.

$$\frac{-y^{2}+10y}{-1}=-\frac{400}{-1}$$

Division durch -1 macht die Multiplikation mit -1 rückgängig.

$$y^{2}+\frac{10}{-1}y=-\frac{400}{-1}$$

Dividieren Sie 10 durch -1.

$$y^{2}-10y=-\frac{400}{-1}$$

Dividieren Sie -400 durch -1.

$$y^{2}-10y=400$$

Dividieren Sie -10, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -5 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -5 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$y^{2}-10y+\left(-5\right)^{2}=400+\left(-5\right)^{2}$$

-5 zum Quadrat.

$$y^{2}-10y+25=400+25$$

Addieren Sie 400 zu 25.

$$y^{2}-10y+25=425$$

Faktor y^{2}-10y+25. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(y-5\right)^{2}=425$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(y-5\right)^{2}}=\sqrt{425}$$

Vereinfachen.

$$y-5=5\sqrt{17} y-5=-5\sqrt{17}$$

Addieren Sie 5 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$y=5\sqrt{17}+5 y=5-5\sqrt{17}$$