-x^2+7x-10=0 lösen

$$- { x }^{ 2 } +7x-10 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=2$$

$$x=5$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als -x^{2}+ax+bx-10 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=7 ab=-\left(-10\right)=10$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 10 ergeben.

$$1,10 2,5$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+10=11 2+5=7$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 7 ergibt.

$$a=5 b=2$$

-x^{2}+7x-10 als \left(-x^{2}+5x\right)+\left(2x-10\right) umschreiben.

$$\left(-x^{2}+5x\right)+\left(2x-10\right)$$

Klammern Sie -x in der ersten und 2 in der zweiten Gruppe aus.

$$-x\left(x-5\right)+2\left(x-5\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-5 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-5\right)\left(-x+2\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-5=0 und -x+2=0.

$$x=5 x=2$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-x^{2}+7x-10=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -1, b durch 7 und c durch -10, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\left(-1\right)\left(-10\right)}}{2\left(-1\right)}$$

7 zum Quadrat.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\left(-1\right)\left(-10\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -1.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+4\left(-10\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 4 mit -10.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-40}}{2\left(-1\right)}$$

Addieren Sie 49 zu -40.

$$x=\frac{-7±\sqrt{9}}{2\left(-1\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 9.

$$x=\frac{-7±3}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -1.

$$x=\frac{-7±3}{-2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-7±3}{-2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -7 zu 3.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

Dividieren Sie -4 durch -2.

$$x=2$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-7±3}{-2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 3 von -7.

$$x=-\frac{10}{-2}$$

Dividieren Sie -10 durch -2.

$$x=5$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=2 x=5$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-x^{2}+7x-10=0$$

Addieren Sie 10 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$-x^{2}+7x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Die Subtraktion von -10 von sich selbst ergibt 0.

$$-x^{2}+7x=-\left(-10\right)$$

Subtrahieren Sie -10 von 0.

$$-x^{2}+7x=10$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -1.

$$\frac{-x^{2}+7x}{-1}=\frac{10}{-1}$$

Division durch -1 macht die Multiplikation mit -1 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{7}{-1}x=\frac{10}{-1}$$

Dividieren Sie 7 durch -1.

$$x^{2}-7x=\frac{10}{-1}$$

Dividieren Sie 10 durch -1.

$$x^{2}-7x=-10$$

Dividieren Sie -7, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{7}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{7}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=-10+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{7}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=-10+\frac{49}{4}$$

Addieren Sie -10 zu \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{9}{4}$$

Faktor x^{2}-7x+\frac{49}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{3}{2}$$

Addieren Sie \frac{7}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=5 x=2$$