-x^2+2x-1=0 lösen

$$- { x }^{ 2 } +2x-1=0$$

Nach x auflösen

$$x=1$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als -x^{2}+ax+bx-1 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=2 ab=-\left(-1\right)=1$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Das einzige derartige Paar ist die Lösung des Systems.

$$a=1 b=1$$

-x^{2}+2x-1 als \left(-x^{2}+x\right)+\left(x-1\right) umschreiben.

$$\left(-x^{2}+x\right)+\left(x-1\right)$$

Klammern Sie -x in -x^{2}+x aus.

$$-x\left(x-1\right)+x-1$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-1\right)\left(-x+1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-1=0 und -x+1=0.

$$x=1 x=1$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-x^{2}+2x-1=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -1, b durch 2 und c durch -1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

2 zum Quadrat.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -1.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 4 mit -1.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4}}{2\left(-1\right)}$$

Addieren Sie 4 zu -4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{0}}{2\left(-1\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 0.

$$x=-\frac{2}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -1.

$$x=-\frac{2}{-2}$$

Dividieren Sie -2 durch -2.

$$x=1$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-x^{2}+2x-1=0$$

Addieren Sie 1 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$-x^{2}+2x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Die Subtraktion von -1 von sich selbst ergibt 0.

$$-x^{2}+2x=-\left(-1\right)$$

Subtrahieren Sie -1 von 0.

$$-x^{2}+2x=1$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -1.

$$\frac{-x^{2}+2x}{-1}=\frac{1}{-1}$$

Division durch -1 macht die Multiplikation mit -1 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{2}{-1}x=\frac{1}{-1}$$

Dividieren Sie 2 durch -1.

$$x^{2}-2x=\frac{1}{-1}$$

Dividieren Sie 1 durch -1.

$$x^{2}-2x=-1$$

Dividieren Sie -2, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -1 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -1 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-2x+1=-1+1$$

Addieren Sie -1 zu 1.

$$x^{2}-2x+1=0$$

Faktor x^{2}-2x+1. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-1\right)^{2}=0$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Vereinfachen.

$$x-1=0 x-1=0$$

Addieren Sie 1 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=1 x=1$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst. Die Lösungen sind identisch.

$$x=1$$