-1/3(x+2)(x-1/3)>0 lösen

$$- \frac { 1 } { 3 } ( x + 2 ) ( x - \frac { 1 } { 3 } ) > 0$$

Für x lösen

$$x\in \left(-2,\frac{1}{3}\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um -\frac{1}{3} mit x+2 zu multiplizieren.

$$\left(-\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)>0$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um -\frac{1}{3}x-\frac{2}{3} mit x-\frac{1}{3} zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$-\frac{1}{3}x^{2}-\frac{5}{9}x+\frac{2}{9}>0$$

Multiplizieren Sie die Ungleichung mit -1, um den Koeffizienten mit der höchsten Potenz in -\frac{1}{3}x^{2}-\frac{5}{9}x+\frac{2}{9} positiv zu machen. Da -1 negativ ist, wird die Richtung der Ungleichung geändert.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{5}{9}x-\frac{2}{9}<0$$

Um die Ungleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite. Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{5}{9}x-\frac{2}{9}=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch \frac{1}{3}, b durch \frac{5}{9} und c durch -\frac{2}{9}.

$$x=\frac{-\frac{5}{9}±\sqrt{\left(\frac{5}{9}\right)^{2}-4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{2}{9}\right)}}{\frac{1}{3}\times 2}$$

Berechnungen ausführen.

$$x=\frac{-\frac{5}{9}±\frac{7}{9}}{\frac{2}{3}}$$

Lösen Sie die Gleichung x=\frac{-\frac{5}{9}±\frac{7}{9}}{\frac{2}{3}}, wenn ± Plus ist und wenn ± minus ist.

$$x=\frac{1}{3} x=-2$$

Die Ungleichung umschreiben, indem Sie die erhaltenen Lösungen verwenden.

$$\frac{1}{3}\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x+2\right)<0$$

Damit das Produkt negativ ist, müssen x-\frac{1}{3} und x+2 gegensätzliche Vorzeichen haben. Erwägen Sie den Fall, wenn x-\frac{1}{3} positiv und x+2 negativ ist.

$$x-\frac{1}{3}>0 x+2<0$$

Dies ist falsch für alle x.

$$x\in \emptyset$$

Erwägen Sie den Fall, wenn x+2 positiv und x-\frac{1}{3} negativ ist.

$$x+2>0 x-\frac{1}{3}<0$$

Die Lösung, die beide Ungleichungen erfüllt, lautet x\in \left(-2,\frac{1}{3}\right).

$$x\in \left(-2,\frac{1}{3}\right)$$

Die endgültige Lösung ist die Vereinigung der erhaltenen Lösungen.

$$x\in \left(-2,\frac{1}{3}\right)$$