-1/12x^2+2/3x+5/3=0 lösen

$$- \frac { 1 } { 12 } x ^ { 2 } + \frac { 2 } { 3 } x + \frac { 5 } { 3 } = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-2$$

$$x=10$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-\frac{1}{12}x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -\frac{1}{12}, b durch \frac{2}{3} und c durch \frac{5}{3}, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{2}{3}±\sqrt{\left(\frac{2}{3}\right)^{2}-4\left(-\frac{1}{12}\right)\times \frac{5}{3}}}{2\left(-\frac{1}{12}\right)}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{2}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x=\frac{-\frac{2}{3}±\sqrt{\frac{4}{9}-4\left(-\frac{1}{12}\right)\times \frac{5}{3}}}{2\left(-\frac{1}{12}\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -\frac{1}{12}.

$$x=\frac{-\frac{2}{3}±\sqrt{\frac{4}{9}+\frac{1}{3}\times \frac{5}{3}}}{2\left(-\frac{1}{12}\right)}$$

Multiplizieren Sie \frac{1}{3} mit \frac{5}{3}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x=\frac{-\frac{2}{3}±\sqrt{\frac{4+5}{9}}}{2\left(-\frac{1}{12}\right)}$$

Addieren Sie \frac{4}{9} zu \frac{5}{9}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x=\frac{-\frac{2}{3}±\sqrt{1}}{2\left(-\frac{1}{12}\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 1.

$$x=\frac{-\frac{2}{3}±1}{2\left(-\frac{1}{12}\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -\frac{1}{12}.

$$x=\frac{-\frac{2}{3}±1}{-\frac{1}{6}}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-\frac{2}{3}±1}{-\frac{1}{6}}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -\frac{2}{3} zu 1.

$$x=\frac{\frac{1}{3}}{-\frac{1}{6}}$$

Dividieren Sie \frac{1}{3} durch -\frac{1}{6}, indem Sie \frac{1}{3} mit dem Kehrwert von -\frac{1}{6} multiplizieren.

$$x=-2$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-\frac{2}{3}±1}{-\frac{1}{6}}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 1 von -\frac{2}{3}.

$$x=-\frac{\frac{5}{3}}{-\frac{1}{6}}$$

Dividieren Sie -\frac{5}{3} durch -\frac{1}{6}, indem Sie -\frac{5}{3} mit dem Kehrwert von -\frac{1}{6} multiplizieren.

$$x=10$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-2 x=10$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-\frac{1}{12}x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}=0$$

\frac{5}{3} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$-\frac{1}{12}x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}-\frac{5}{3}=-\frac{5}{3}$$

Die Subtraktion von \frac{5}{3} von sich selbst ergibt 0.

$$-\frac{1}{12}x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{5}{3}$$

Multiplizieren Sie beide Seiten mit -12.

$$\frac{-\frac{1}{12}x^{2}+\frac{2}{3}x}{-\frac{1}{12}}=-\frac{\frac{5}{3}}{-\frac{1}{12}}$$

Division durch -\frac{1}{12} macht die Multiplikation mit -\frac{1}{12} rückgängig.

$$x^{2}+\frac{\frac{2}{3}}{-\frac{1}{12}}x=-\frac{\frac{5}{3}}{-\frac{1}{12}}$$

Dividieren Sie \frac{2}{3} durch -\frac{1}{12}, indem Sie \frac{2}{3} mit dem Kehrwert von -\frac{1}{12} multiplizieren.

$$x^{2}-8x=-\frac{\frac{5}{3}}{-\frac{1}{12}}$$

Dividieren Sie -\frac{5}{3} durch -\frac{1}{12}, indem Sie -\frac{5}{3} mit dem Kehrwert von -\frac{1}{12} multiplizieren.

$$x^{2}-8x=20$$

Dividieren Sie -8, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -4 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -4 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=20+\left(-4\right)^{2}$$

-4 zum Quadrat.

$$x^{2}-8x+16=20+16$$

Addieren Sie 20 zu 16.

$$x^{2}-8x+16=36$$

Faktor x^{2}-8x+16. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-4\right)^{2}=36$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{36}$$

Vereinfachen.

$$x-4=6 x-4=-6$$

Addieren Sie 4 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=10 x=-2$$