(30-3x)(10-2x)=216 lösen

$$(30-3x)(10-2x)=216$$

Nach x auflösen

$$x=1$$

$$x=14$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 30-3x mit 10-2x zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$300-90x+6x^{2}=216$$

Subtrahieren Sie 216 von beiden Seiten.

$$300-90x+6x^{2}-216=0$$

Subtrahieren Sie 216 von 300, um 84 zu erhalten.

$$84-90x+6x^{2}=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$6x^{2}-90x+84=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 6, b durch -90 und c durch 84, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{\left(-90\right)^{2}-4\times 6\times 84}}{2\times 6}$$

-90 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-4\times 6\times 84}}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 6.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-24\times 84}}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie -24 mit 84.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-2016}}{2\times 6}$$

Addieren Sie 8100 zu -2016.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{6084}}{2\times 6}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 6084.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±78}{2\times 6}$$

Das Gegenteil von -90 ist 90.

$$x=\frac{90±78}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 6.

$$x=\frac{90±78}{12}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{90±78}{12}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 90 zu 78.

$$x=\frac{168}{12}$$

Dividieren Sie 168 durch 12.

$$x=14$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{90±78}{12}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 78 von 90.

$$x=\frac{12}{12}$$

Dividieren Sie 12 durch 12.

$$x=1$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=14 x=1$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 30-3x mit 10-2x zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$300-90x+6x^{2}=216$$

Subtrahieren Sie 300 von beiden Seiten.

$$-90x+6x^{2}=216-300$$

Subtrahieren Sie 300 von 216, um -84 zu erhalten.

$$-90x+6x^{2}=-84$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$6x^{2}-90x=-84$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 6.

$$\frac{6x^{2}-90x}{6}=-\frac{84}{6}$$

Division durch 6 macht die Multiplikation mit 6 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{90}{6}\right)x=-\frac{84}{6}$$

Dividieren Sie -90 durch 6.

$$x^{2}-15x=-\frac{84}{6}$$

Dividieren Sie -84 durch 6.

$$x^{2}-15x=-14$$

Dividieren Sie -15, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{15}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{15}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-14+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{15}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=-14+\frac{225}{4}$$

Addieren Sie -14 zu \frac{225}{4}.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=\frac{169}{4}$$

Faktor x^{2}-15x+\frac{225}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{15}{2}=\frac{13}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{13}{2}$$

Addieren Sie \frac{15}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=14 x=1$$