(20-3x)(4-x)=28 lösen

$$(20-3x)(4-x)=28$$

Nach x auflösen

$$x=2$$

$$x = \frac{26}{3} = 8\frac{2}{3} \approx 8,666666667$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 20-3x mit 4-x zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$80-32x+3x^{2}=28$$

Subtrahieren Sie 28 von beiden Seiten.

$$80-32x+3x^{2}-28=0$$

Subtrahieren Sie 28 von 80, um 52 zu erhalten.

$$52-32x+3x^{2}=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$3x^{2}-32x+52=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch -32 und c durch 52, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 3\times 52}}{2\times 3}$$

-32 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 3\times 52}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-12\times 52}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit 52.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-624}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 1024 zu -624.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{400}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 400.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±20}{2\times 3}$$

Das Gegenteil von -32 ist 32.

$$x=\frac{32±20}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$x=\frac{32±20}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{32±20}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 32 zu 20.

$$x=\frac{52}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{52}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{26}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{32±20}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 20 von 32.

$$x=\frac{12}{6}$$

Dividieren Sie 12 durch 6.

$$x=2$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{26}{3} x=2$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 20-3x mit 4-x zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$80-32x+3x^{2}=28$$

Subtrahieren Sie 80 von beiden Seiten.

$$-32x+3x^{2}=28-80$$

Subtrahieren Sie 80 von 28, um -52 zu erhalten.

$$-32x+3x^{2}=-52$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$3x^{2}-32x=-52$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3x^{2}-32x}{3}=-\frac{52}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-\frac{52}{3}$$

Dividieren Sie -\frac{32}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{16}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{16}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}=-\frac{52}{3}+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{16}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=-\frac{52}{3}+\frac{256}{9}$$

Addieren Sie -\frac{52}{3} zu \frac{256}{9}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=\frac{100}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{16}{3}=\frac{10}{3} x-\frac{16}{3}=-\frac{10}{3}$$

Addieren Sie \frac{16}{3} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{26}{3} x=2$$