(-y^2+3y+5=0) lösen

$$(- { y }^{ 2 } +3y+5=0)$$

Nach y auflösen

$$y = \frac{\sqrt{29} + 3}{2} \approx 4,192582404$$

$$y=\frac{3-\sqrt{29}}{2}\approx -1,192582404$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-y^{2}+3y+5=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -1, b durch 3 und c durch 5, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

3 zum Quadrat.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -1.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9+4\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 4 mit 5.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9+20}}{2\left(-1\right)}$$

Addieren Sie 9 zu 20.

$$y=\frac{-3±\sqrt{29}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -1.

$$y=\frac{-3±\sqrt{29}}{-2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{-3±\sqrt{29}}{-2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -3 zu \sqrt{29}.

$$y=\frac{\sqrt{29}-3}{-2}$$

Dividieren Sie -3+\sqrt{29} durch -2.

$$y=\frac{3-\sqrt{29}}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{-3±\sqrt{29}}{-2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \sqrt{29} von -3.

$$y=\frac{-\sqrt{29}-3}{-2}$$

Dividieren Sie -3-\sqrt{29} durch -2.

$$y=\frac{\sqrt{29}+3}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$y=\frac{3-\sqrt{29}}{2} y=\frac{\sqrt{29}+3}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-y^{2}+3y+5=0$$

5 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$-y^{2}+3y+5-5=-5$$

Die Subtraktion von 5 von sich selbst ergibt 0.

$$-y^{2}+3y=-5$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -1.

$$\frac{-y^{2}+3y}{-1}=-\frac{5}{-1}$$

Division durch -1 macht die Multiplikation mit -1 rückgängig.

$$y^{2}+\frac{3}{-1}y=-\frac{5}{-1}$$

Dividieren Sie 3 durch -1.

$$y^{2}-3y=-\frac{5}{-1}$$

Dividieren Sie -5 durch -1.

$$y^{2}-3y=5$$

Dividieren Sie -3, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{3}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{3}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$y^{2}-3y+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=5+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{3}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$y^{2}-3y+\frac{9}{4}=5+\frac{9}{4}$$

Addieren Sie 5 zu \frac{9}{4}.

$$y^{2}-3y+\frac{9}{4}=\frac{29}{4}$$

Faktor y^{2}-3y+\frac{9}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{29}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{29}{4}}$$

Vereinfachen.

$$y-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{29}}{2} y-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{29}}{2}$$

Addieren Sie \frac{3}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$y=\frac{\sqrt{29}+3}{2} y=\frac{3-\sqrt{29}}{2}$$