(y-4)^2=2y^2-11y-12 lösen

$$( y - 4 ) ^ { 2 } = 2 y ^ { 2 } - 11 y - 12$$

Nach y auflösen

$$y=-4$$

$$y=7$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

\left(y-4\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$y^{2}-8y+16=2y^{2}-11y-12$$

Subtrahieren Sie 2y^{2} von beiden Seiten.

$$y^{2}-8y+16-2y^{2}=-11y-12$$

Kombinieren Sie y^{2} und -2y^{2}, um -y^{2} zu erhalten.

$$-y^{2}-8y+16=-11y-12$$

Auf beiden Seiten 11y addieren.

$$-y^{2}-8y+16+11y=-12$$

Kombinieren Sie -8y und 11y, um 3y zu erhalten.

$$-y^{2}+3y+16=-12$$

Auf beiden Seiten 12 addieren.

$$-y^{2}+3y+16+12=0$$

Addieren Sie 16 und 12, um 28 zu erhalten.

$$-y^{2}+3y+28=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als -y^{2}+ay+by+28 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=3 ab=-28=-28$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -28 ergeben.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 3 ergibt.

$$a=7 b=-4$$

-y^{2}+3y+28 als \left(-y^{2}+7y\right)+\left(-4y+28\right) umschreiben.

$$\left(-y^{2}+7y\right)+\left(-4y+28\right)$$

Klammern Sie -y in der ersten und -4 in der zweiten Gruppe aus.

$$-y\left(y-7\right)-4\left(y-7\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term y-7 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(y-7\right)\left(-y-4\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie y-7=0 und -y-4=0.

$$y=7 y=-4$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

\left(y-4\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$y^{2}-8y+16=2y^{2}-11y-12$$

Subtrahieren Sie 2y^{2} von beiden Seiten.

$$y^{2}-8y+16-2y^{2}=-11y-12$$

Kombinieren Sie y^{2} und -2y^{2}, um -y^{2} zu erhalten.

$$-y^{2}-8y+16=-11y-12$$

Auf beiden Seiten 11y addieren.

$$-y^{2}-8y+16+11y=-12$$

Kombinieren Sie -8y und 11y, um 3y zu erhalten.

$$-y^{2}+3y+16=-12$$

Auf beiden Seiten 12 addieren.

$$-y^{2}+3y+16+12=0$$

Addieren Sie 16 und 12, um 28 zu erhalten.

$$-y^{2}+3y+28=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -1, b durch 3 und c durch 28, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\times 28}}{2\left(-1\right)}$$

3 zum Quadrat.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\times 28}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -1.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9+4\times 28}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 4 mit 28.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9+112}}{2\left(-1\right)}$$

Addieren Sie 9 zu 112.

$$y=\frac{-3±\sqrt{121}}{2\left(-1\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 121.

$$y=\frac{-3±11}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -1.

$$y=\frac{-3±11}{-2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{-3±11}{-2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -3 zu 11.

$$y=\frac{8}{-2}$$

Dividieren Sie 8 durch -2.

$$y=-4$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{-3±11}{-2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 11 von -3.

$$y=-\frac{14}{-2}$$

Dividieren Sie -14 durch -2.

$$y=7$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$y=-4 y=7$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

\left(y-4\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$y^{2}-8y+16=2y^{2}-11y-12$$

Subtrahieren Sie 2y^{2} von beiden Seiten.

$$y^{2}-8y+16-2y^{2}=-11y-12$$

Kombinieren Sie y^{2} und -2y^{2}, um -y^{2} zu erhalten.

$$-y^{2}-8y+16=-11y-12$$

Auf beiden Seiten 11y addieren.

$$-y^{2}-8y+16+11y=-12$$

Kombinieren Sie -8y und 11y, um 3y zu erhalten.

$$-y^{2}+3y+16=-12$$

Subtrahieren Sie 16 von beiden Seiten.

$$-y^{2}+3y=-12-16$$

Subtrahieren Sie 16 von -12, um -28 zu erhalten.

$$-y^{2}+3y=-28$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -1.

$$\frac{-y^{2}+3y}{-1}=-\frac{28}{-1}$$

Division durch -1 macht die Multiplikation mit -1 rückgängig.

$$y^{2}+\frac{3}{-1}y=-\frac{28}{-1}$$

Dividieren Sie 3 durch -1.

$$y^{2}-3y=-\frac{28}{-1}$$

Dividieren Sie -28 durch -1.

$$y^{2}-3y=28$$

Dividieren Sie -3, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{3}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{3}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$y^{2}-3y+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{3}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$y^{2}-3y+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

Addieren Sie 28 zu \frac{9}{4}.

$$y^{2}-3y+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

Faktor y^{2}-3y+\frac{9}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Vereinfachen.

$$y-\frac{3}{2}=\frac{11}{2} y-\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

Addieren Sie \frac{3}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$y=7 y=-4$$