(x-4)(3x+6)+(x-4)(12x+48)=0 lösen

$$( x - 4 ) ( 3 x + 6 ) + ( x - 4 ) ( 12 x + 48 ) = 0$$

Nach x auflösen

$$x = -\frac{18}{5} = -3\frac{3}{5} = -3,6$$

$$x=4$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-4 mit 3x+6 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$3x^{2}-6x-24+\left(x-4\right)\left(12x+48\right)=0$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-4 mit 12x+48 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$3x^{2}-6x-24+12x^{2}-192=0$$

Kombinieren Sie 3x^{2} und 12x^{2}, um 15x^{2} zu erhalten.

$$15x^{2}-6x-24-192=0$$

Subtrahieren Sie 192 von -24, um -216 zu erhalten.

$$15x^{2}-6x-216=0$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$5x^{2}-2x-72=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 5x^{2}+ax+bx-72 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-2 ab=5\left(-72\right)=-360$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -360 ergeben.

$$1,-360 2,-180 3,-120 4,-90 5,-72 6,-60 8,-45 9,-40 10,-36 12,-30 15,-24 18,-20$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-360=-359 2-180=-178 3-120=-117 4-90=-86 5-72=-67 6-60=-54 8-45=-37 9-40=-31 10-36=-26 12-30=-18 15-24=-9 18-20=-2$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -2 ergibt.

$$a=-20 b=18$$

5x^{2}-2x-72 als \left(5x^{2}-20x\right)+\left(18x-72\right) umschreiben.

$$\left(5x^{2}-20x\right)+\left(18x-72\right)$$

Klammern Sie 5x in der ersten und 18 in der zweiten Gruppe aus.

$$5x\left(x-4\right)+18\left(x-4\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-4 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-4\right)\left(5x+18\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-4=0 und 5x+18=0.

$$x=4 x=-\frac{18}{5}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-4 mit 3x+6 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$3x^{2}-6x-24+\left(x-4\right)\left(12x+48\right)=0$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-4 mit 12x+48 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$3x^{2}-6x-24+12x^{2}-192=0$$

Kombinieren Sie 3x^{2} und 12x^{2}, um 15x^{2} zu erhalten.

$$15x^{2}-6x-24-192=0$$

Subtrahieren Sie 192 von -24, um -216 zu erhalten.

$$15x^{2}-6x-216=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 15, b durch -6 und c durch -216, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 15\left(-216\right)}}{2\times 15}$$

-6 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 15\left(-216\right)}}{2\times 15}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 15.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-60\left(-216\right)}}{2\times 15}$$

Multiplizieren Sie -60 mit -216.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+12960}}{2\times 15}$$

Addieren Sie 36 zu 12960.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{12996}}{2\times 15}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 12996.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±114}{2\times 15}$$

Das Gegenteil von -6 ist 6.

$$x=\frac{6±114}{2\times 15}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 15.

$$x=\frac{6±114}{30}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{6±114}{30}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 6 zu 114.

$$x=\frac{120}{30}$$

Dividieren Sie 120 durch 30.

$$x=4$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{6±114}{30}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 114 von 6.

$$x=-\frac{108}{30}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-108}{30} um den niedrigsten Term, indem Sie 6 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{18}{5}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=4 x=-\frac{18}{5}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-4 mit 3x+6 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$3x^{2}-6x-24+\left(x-4\right)\left(12x+48\right)=0$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-4 mit 12x+48 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$3x^{2}-6x-24+12x^{2}-192=0$$

Kombinieren Sie 3x^{2} und 12x^{2}, um 15x^{2} zu erhalten.

$$15x^{2}-6x-24-192=0$$

Subtrahieren Sie 192 von -24, um -216 zu erhalten.

$$15x^{2}-6x-216=0$$

Auf beiden Seiten 216 addieren. Eine beliebige Zahl plus null ergibt sich selbst.

$$15x^{2}-6x=216$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 15.

$$\frac{15x^{2}-6x}{15}=\frac{216}{15}$$

Division durch 15 macht die Multiplikation mit 15 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{6}{15}\right)x=\frac{216}{15}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-6}{15} um den niedrigsten Term, indem Sie 3 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=\frac{216}{15}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{216}{15} um den niedrigsten Term, indem Sie 3 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=\frac{72}{5}$$

Dividieren Sie -\frac{2}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{5} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{5} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{72}{5}+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{5}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{72}{5}+\frac{1}{25}$$

Addieren Sie \frac{72}{5} zu \frac{1}{25}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{361}{25}$$

Faktor x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{361}{25}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{25}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{1}{5}=\frac{19}{5} x-\frac{1}{5}=-\frac{19}{5}$$

Addieren Sie \frac{1}{5} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=4 x=-\frac{18}{5}$$