(x-3)^2-(2x+1)^2=5 lösen

$$( x - 3 ) ^ { 2 } - ( 2 x + 1 ) ^ { 2 } = 5$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{\sqrt{34}-5}{3}\approx 0,276983965$$

$$x=\frac{-\sqrt{34}-5}{3}\approx -3,610317298$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

\left(x-3\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$x^{2}-6x+9-\left(2x+1\right)^{2}=5$$

\left(2x+1\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$x^{2}-6x+9-\left(4x^{2}+4x+1\right)=5$$

Um das Gegenteil von "4x^{2}+4x+1" zu finden, suchen Sie nach dem Gegenteil jedes Terms.

$$x^{2}-6x+9-4x^{2}-4x-1=5$$

Kombinieren Sie x^{2} und -4x^{2}, um -3x^{2} zu erhalten.

$$-3x^{2}-6x+9-4x-1=5$$

Kombinieren Sie -6x und -4x, um -10x zu erhalten.

$$-3x^{2}-10x+9-1=5$$

Subtrahieren Sie 1 von 9, um 8 zu erhalten.

$$-3x^{2}-10x+8=5$$

Subtrahieren Sie 5 von beiden Seiten.

$$-3x^{2}-10x+8-5=0$$

Subtrahieren Sie 5 von 8, um 3 zu erhalten.

$$-3x^{2}-10x+3=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -3, b durch -10 und c durch 3, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 3}}{2\left(-3\right)}$$

-10 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\left(-3\right)\times 3}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -3.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+12\times 3}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie 12 mit 3.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+36}}{2\left(-3\right)}$$

Addieren Sie 100 zu 36.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{136}}{2\left(-3\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 136.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{34}}{2\left(-3\right)}$$

Das Gegenteil von -10 ist 10.

$$x=\frac{10±2\sqrt{34}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -3.

$$x=\frac{10±2\sqrt{34}}{-6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{10±2\sqrt{34}}{-6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 10 zu 2\sqrt{34}.

$$x=\frac{2\sqrt{34}+10}{-6}$$

Dividieren Sie 10+2\sqrt{34} durch -6.

$$x=\frac{-\sqrt{34}-5}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{10±2\sqrt{34}}{-6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{34} von 10.

$$x=\frac{10-2\sqrt{34}}{-6}$$

Dividieren Sie 10-2\sqrt{34} durch -6.

$$x=\frac{\sqrt{34}-5}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{-\sqrt{34}-5}{3} x=\frac{\sqrt{34}-5}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

\left(x-3\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$x^{2}-6x+9-\left(2x+1\right)^{2}=5$$

\left(2x+1\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$x^{2}-6x+9-\left(4x^{2}+4x+1\right)=5$$

Um das Gegenteil von "4x^{2}+4x+1" zu finden, suchen Sie nach dem Gegenteil jedes Terms.

$$x^{2}-6x+9-4x^{2}-4x-1=5$$

Kombinieren Sie x^{2} und -4x^{2}, um -3x^{2} zu erhalten.

$$-3x^{2}-6x+9-4x-1=5$$

Kombinieren Sie -6x und -4x, um -10x zu erhalten.

$$-3x^{2}-10x+9-1=5$$

Subtrahieren Sie 1 von 9, um 8 zu erhalten.

$$-3x^{2}-10x+8=5$$

Subtrahieren Sie 8 von beiden Seiten.

$$-3x^{2}-10x=5-8$$

Subtrahieren Sie 8 von 5, um -3 zu erhalten.

$$-3x^{2}-10x=-3$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -3.

$$\frac{-3x^{2}-10x}{-3}=-\frac{3}{-3}$$

Division durch -3 macht die Multiplikation mit -3 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{-3}\right)x=-\frac{3}{-3}$$

Dividieren Sie -10 durch -3.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x=-\frac{3}{-3}$$

Dividieren Sie -3 durch -3.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x=1$$

Dividieren Sie \frac{10}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{5}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{5}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=1+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{5}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=1+\frac{25}{9}$$

Addieren Sie 1 zu \frac{25}{9}.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{34}{9}$$

Faktor x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{34}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{34}{9}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{5}{3}=\frac{\sqrt{34}}{3} x+\frac{5}{3}=-\frac{\sqrt{34}}{3}$$

\frac{5}{3} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{\sqrt{34}-5}{3} x=\frac{-\sqrt{34}-5}{3}$$