(x-3)^2=x/4 lösen

$$( x - 3 ) ^ { 2 } = \frac { x } { 4 }$$

Nach x auflösen

$$x=4$$

$$x = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4} = 2,25$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 4.

$$4\left(x-3\right)^{2}=x$$

\left(x-3\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$4\left(x^{2}-6x+9\right)=x$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 4 mit x^{2}-6x+9 zu multiplizieren.

$$4x^{2}-24x+36=x$$

Subtrahieren Sie x von beiden Seiten.

$$4x^{2}-24x+36-x=0$$

Kombinieren Sie -24x und -x, um -25x zu erhalten.

$$4x^{2}-25x+36=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 4x^{2}+ax+bx+36 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-25 ab=4\times 36=144$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 144 ergeben.

$$-1,-144 -2,-72 -3,-48 -4,-36 -6,-24 -8,-18 -9,-16 -12,-12$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-144=-145 -2-72=-74 -3-48=-51 -4-36=-40 -6-24=-30 -8-18=-26 -9-16=-25 -12-12=-24$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -25 ergibt.

$$a=-16 b=-9$$

4x^{2}-25x+36 als \left(4x^{2}-16x\right)+\left(-9x+36\right) umschreiben.

$$\left(4x^{2}-16x\right)+\left(-9x+36\right)$$

Klammern Sie 4x in der ersten und -9 in der zweiten Gruppe aus.

$$4x\left(x-4\right)-9\left(x-4\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-4 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-4\right)\left(4x-9\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-4=0 und 4x-9=0.

$$x=4 x=\frac{9}{4}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 4.

$$4\left(x-3\right)^{2}=x$$

\left(x-3\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$4\left(x^{2}-6x+9\right)=x$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 4 mit x^{2}-6x+9 zu multiplizieren.

$$4x^{2}-24x+36=x$$

Subtrahieren Sie x von beiden Seiten.

$$4x^{2}-24x+36-x=0$$

Kombinieren Sie -24x und -x, um -25x zu erhalten.

$$4x^{2}-25x+36=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 4, b durch -25 und c durch 36, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{\left(-25\right)^{2}-4\times 4\times 36}}{2\times 4}$$

-25 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-4\times 4\times 36}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-16\times 36}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit 36.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-576}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 625 zu -576.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{49}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 49.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±7}{2\times 4}$$

Das Gegenteil von -25 ist 25.

$$x=\frac{25±7}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$x=\frac{25±7}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{25±7}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 25 zu 7.

$$x=\frac{32}{8}$$

Dividieren Sie 32 durch 8.

$$x=4$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{25±7}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 7 von 25.

$$x=\frac{18}{8}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{18}{8} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{9}{4}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=4 x=\frac{9}{4}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 4.

$$4\left(x-3\right)^{2}=x$$

\left(x-3\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$4\left(x^{2}-6x+9\right)=x$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 4 mit x^{2}-6x+9 zu multiplizieren.

$$4x^{2}-24x+36=x$$

Subtrahieren Sie x von beiden Seiten.

$$4x^{2}-24x+36-x=0$$

Kombinieren Sie -24x und -x, um -25x zu erhalten.

$$4x^{2}-25x+36=0$$

Subtrahieren Sie 36 von beiden Seiten. Jede Subtraktion von null ergibt ihre Negation.

$$4x^{2}-25x=-36$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$\frac{4x^{2}-25x}{4}=-\frac{36}{4}$$

Division durch 4 macht die Multiplikation mit 4 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{25}{4}x=-\frac{36}{4}$$

Dividieren Sie -36 durch 4.

$$x^{2}-\frac{25}{4}x=-9$$

Dividieren Sie -\frac{25}{4}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{25}{8} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{25}{8} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{25}{4}x+\left(-\frac{25}{8}\right)^{2}=-9+\left(-\frac{25}{8}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{25}{8}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{25}{4}x+\frac{625}{64}=-9+\frac{625}{64}$$

Addieren Sie -9 zu \frac{625}{64}.

$$x^{2}-\frac{25}{4}x+\frac{625}{64}=\frac{49}{64}$$

Faktor x^{2}-\frac{25}{4}x+\frac{625}{64}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x-\frac{25}{8}\right)^{2}=\frac{49}{64}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{25}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{64}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{25}{8}=\frac{7}{8} x-\frac{25}{8}=-\frac{7}{8}$$

Addieren Sie \frac{25}{8} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=4 x=\frac{9}{4}$$