(x-2)^2geq7 lösen

$$( x - 2 ) ^ { 2 } \geq 7$$

Für x lösen

$$x\in (-\infty,2-\sqrt{7}]\cup [\sqrt{7}+2,\infty)$$

Lösungsschritte

Um die Ungleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite. Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$\left(x-2\right)^{2}=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -4 und c durch -3.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 1\left(-3\right)}}{2}$$

Berechnungen ausführen.

$$x=\frac{4±2\sqrt{7}}{2}$$

Lösen Sie die Gleichung x=\frac{4±2\sqrt{7}}{2}, wenn ± Plus ist und wenn ± minus ist.

$$x=\sqrt{7}+2 x=2-\sqrt{7}$$

Die Ungleichung umschreiben, indem Sie die erhaltenen Lösungen verwenden.

$$\left(x-\left(\sqrt{7}+2\right)\right)\left(x-\left(2-\sqrt{7}\right)\right)\geq 0$$

Damit das Produkt ≥0 wird, müssen x-\left(\sqrt{7}+2\right) und x-\left(2-\sqrt{7}\right) beide ≤0 oder ≥0 sein. Erwägen Sie den Fall, wenn x-\left(\sqrt{7}+2\right) und x-\left(2-\sqrt{7}\right) beide ≤0 sind.

$$x-\left(\sqrt{7}+2\right)\leq 0 x-\left(2-\sqrt{7}\right)\leq 0$$

Die Lösung, die beide Ungleichungen erfüllt, lautet x\leq 2-\sqrt{7}.

$$x\leq 2-\sqrt{7}$$

Erwägen Sie den Fall, wenn x-\left(\sqrt{7}+2\right) und x-\left(2-\sqrt{7}\right) beide ≥0 sind.

$$x-\left(2-\sqrt{7}\right)\geq 0 x-\left(\sqrt{7}+2\right)\geq 0$$

Die Lösung, die beide Ungleichungen erfüllt, lautet x\geq \sqrt{7}+2.

$$x\geq \sqrt{7}+2$$

Die endgültige Lösung ist die Vereinigung der erhaltenen Lösungen.

$$x\leq 2-\sqrt{7}\text{; }x\geq \sqrt{7}+2$$