(x-1)^2+(2x+2)^2=16 lösen

$$( x - 1 ) ^ { 2 } + ( 2 x + 2 ) ^ { 2 } = 16$$

Nach x auflösen

$$x = -\frac{11}{5} = -2\frac{1}{5} = -2,2$$

$$x=1$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

\left(x-1\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$x^{2}-2x+1+\left(2x+2\right)^{2}=16$$

\left(2x+2\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$x^{2}-2x+1+4x^{2}+8x+4=16$$

Kombinieren Sie x^{2} und 4x^{2}, um 5x^{2} zu erhalten.

$$5x^{2}-2x+1+8x+4=16$$

Kombinieren Sie -2x und 8x, um 6x zu erhalten.

$$5x^{2}+6x+1+4=16$$

Addieren Sie 1 und 4, um 5 zu erhalten.

$$5x^{2}+6x+5=16$$

Subtrahieren Sie 16 von beiden Seiten.

$$5x^{2}+6x+5-16=0$$

Subtrahieren Sie 16 von 5, um -11 zu erhalten.

$$5x^{2}+6x-11=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 5x^{2}+ax+bx-11 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=6 ab=5\left(-11\right)=-55$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -55 ergeben.

$$-1,55 -5,11$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+55=54 -5+11=6$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 6 ergibt.

$$a=-5 b=11$$

5x^{2}+6x-11 als \left(5x^{2}-5x\right)+\left(11x-11\right) umschreiben.

$$\left(5x^{2}-5x\right)+\left(11x-11\right)$$

Klammern Sie 5x in der ersten und 11 in der zweiten Gruppe aus.

$$5x\left(x-1\right)+11\left(x-1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-1\right)\left(5x+11\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-1=0 und 5x+11=0.

$$x=1 x=-\frac{11}{5}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

\left(x-1\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$x^{2}-2x+1+\left(2x+2\right)^{2}=16$$

\left(2x+2\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$x^{2}-2x+1+4x^{2}+8x+4=16$$

Kombinieren Sie x^{2} und 4x^{2}, um 5x^{2} zu erhalten.

$$5x^{2}-2x+1+8x+4=16$$

Kombinieren Sie -2x und 8x, um 6x zu erhalten.

$$5x^{2}+6x+1+4=16$$

Addieren Sie 1 und 4, um 5 zu erhalten.

$$5x^{2}+6x+5=16$$

Subtrahieren Sie 16 von beiden Seiten.

$$5x^{2}+6x+5-16=0$$

Subtrahieren Sie 16 von 5, um -11 zu erhalten.

$$5x^{2}+6x-11=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 5, b durch 6 und c durch -11, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 5\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

6 zum Quadrat.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 5\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-20\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -20 mit -11.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+220}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 36 zu 220.

$$x=\frac{-6±\sqrt{256}}{2\times 5}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 256.

$$x=\frac{-6±16}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$x=\frac{-6±16}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-6±16}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -6 zu 16.

$$x=\frac{10}{10}$$

Dividieren Sie 10 durch 10.

$$x=1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-6±16}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 16 von -6.

$$x=-\frac{22}{10}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-22}{10} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{11}{5}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=1 x=-\frac{11}{5}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

\left(x-1\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$x^{2}-2x+1+\left(2x+2\right)^{2}=16$$

\left(2x+2\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$x^{2}-2x+1+4x^{2}+8x+4=16$$

Kombinieren Sie x^{2} und 4x^{2}, um 5x^{2} zu erhalten.

$$5x^{2}-2x+1+8x+4=16$$

Kombinieren Sie -2x und 8x, um 6x zu erhalten.

$$5x^{2}+6x+1+4=16$$

Addieren Sie 1 und 4, um 5 zu erhalten.

$$5x^{2}+6x+5=16$$

Subtrahieren Sie 5 von beiden Seiten.

$$5x^{2}+6x=16-5$$

Subtrahieren Sie 5 von 16, um 11 zu erhalten.

$$5x^{2}+6x=11$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$\frac{5x^{2}+6x}{5}=\frac{11}{5}$$

Division durch 5 macht die Multiplikation mit 5 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=\frac{11}{5}$$

Dividieren Sie \frac{6}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{3}{5} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{3}{5} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{11}{5}+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{3}{5}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{11}{5}+\frac{9}{25}$$

Addieren Sie \frac{11}{5} zu \frac{9}{25}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{64}{25}$$

Faktor x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{64}{25}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{25}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{3}{5}=\frac{8}{5} x+\frac{3}{5}=-\frac{8}{5}$$

\frac{3}{5} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=1 x=-\frac{11}{5}$$