(x-1/4)^2leq25/16 lösen

$$( x - \frac { 1 } { 4 } ) ^ { 2 } \leq \frac { 25 } { 16 }$$

Für x lösen

$$x\in \begin{bmatrix}-1,\frac{3}{2}\end{bmatrix}$$

Lösungsschritte

Um die Ungleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite. Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -\frac{1}{2} und c durch -\frac{3}{2}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{1}{2}\right)±\sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}-4\times 1\left(-\frac{3}{2}\right)}}{2}$$

Berechnungen ausführen.

$$x=\frac{\frac{1}{2}±\frac{5}{2}}{2}$$

Lösen Sie die Gleichung x=\frac{\frac{1}{2}±\frac{5}{2}}{2}, wenn ± Plus ist und wenn ± minus ist.

$$x=\frac{3}{2} x=-1$$

Die Ungleichung umschreiben, indem Sie die erhaltenen Lösungen verwenden.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(x+1\right)\leq 0$$

Damit das Produkt ≤0 wird, muss einer der Werte x-\frac{3}{2} und x+1 ≥0 sein, und die andere muss ≤0 sein. Betrachten Sie den Fall, wenn x-\frac{3}{2}\geq 0 und x+1\leq 0.

$$x-\frac{3}{2}\geq 0 x+1\leq 0$$

Dies ist falsch für alle x.

$$x\in \emptyset$$

Betrachten Sie den Fall, wenn x-\frac{3}{2}\leq 0 und x+1\geq 0.

$$x+1\geq 0 x-\frac{3}{2}\leq 0$$

Die Lösung, die beide Ungleichungen erfüllt, lautet x\in \left[-1,\frac{3}{2}\right].

$$x\in \begin{bmatrix}-1,\frac{3}{2}\end{bmatrix}$$

Die endgültige Lösung ist die Vereinigung der erhaltenen Lösungen.

$$x\in \begin{bmatrix}-1,\frac{3}{2}\end{bmatrix}$$