(x)=3x^2-x-4 lösen

$$( x ) = 3 x ^ { 2 } - x - 4$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{13} + 1}{3} \approx 1,535183758$$

$$x=\frac{1-\sqrt{13}}{3}\approx -0,868517092$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Subtrahieren Sie 3x^{2} von beiden Seiten.

$$x-3x^{2}=-x-4$$

Auf beiden Seiten x addieren.

$$x-3x^{2}+x=-4$$

Kombinieren Sie x und x, um 2x zu erhalten.

$$2x-3x^{2}=-4$$

Auf beiden Seiten 4 addieren.

$$2x-3x^{2}+4=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-3x^{2}+2x+4=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -3, b durch 2 und c durch 4, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-3\right)\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

2 zum Quadrat.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-3\right)\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+12\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie 12 mit 4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+48}}{2\left(-3\right)}$$

Addieren Sie 4 zu 48.

$$x=\frac{-2±\sqrt{52}}{2\left(-3\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 52.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{13}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -3.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{13}}{-6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-2±2\sqrt{13}}{-6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -2 zu 2\sqrt{13}.

$$x=\frac{2\sqrt{13}-2}{-6}$$

Dividieren Sie -2+2\sqrt{13} durch -6.

$$x=\frac{1-\sqrt{13}}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-2±2\sqrt{13}}{-6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{13} von -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{13}-2}{-6}$$

Dividieren Sie -2-2\sqrt{13} durch -6.

$$x=\frac{\sqrt{13}+1}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{1-\sqrt{13}}{3} x=\frac{\sqrt{13}+1}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Subtrahieren Sie 3x^{2} von beiden Seiten.

$$x-3x^{2}=-x-4$$

Auf beiden Seiten x addieren.

$$x-3x^{2}+x=-4$$

Kombinieren Sie x und x, um 2x zu erhalten.

$$2x-3x^{2}=-4$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-3x^{2}+2x=-4$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -3.

$$\frac{-3x^{2}+2x}{-3}=-\frac{4}{-3}$$

Division durch -3 macht die Multiplikation mit -3 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{2}{-3}x=-\frac{4}{-3}$$

Dividieren Sie 2 durch -3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{4}{-3}$$

Dividieren Sie -4 durch -3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{4}{3}$$

Dividieren Sie -\frac{2}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{4}{3}+\frac{1}{9}$$

Addieren Sie \frac{4}{3} zu \frac{1}{9}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{13}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{13}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{9}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{13}}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{13}}{3}$$

Addieren Sie \frac{1}{3} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{13}+1}{3} x=\frac{1-\sqrt{13}}{3}$$