(x)=3x^2-7x+2 lösen

$$( x ) = 3 x ^ { 2 } - 7 x + 2$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{10} + 4}{3} \approx 2,387425887$$

$$x=\frac{4-\sqrt{10}}{3}\approx 0,27924078$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Subtrahieren Sie 3x^{2} von beiden Seiten.

$$x-3x^{2}=-7x+2$$

Auf beiden Seiten 7x addieren.

$$x-3x^{2}+7x=2$$

Kombinieren Sie x und 7x, um 8x zu erhalten.

$$8x-3x^{2}=2$$

Subtrahieren Sie 2 von beiden Seiten.

$$8x-3x^{2}-2=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-3x^{2}+8x-2=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -3, b durch 8 und c durch -2, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\left(-3\right)\left(-2\right)}}{2\left(-3\right)}$$

8 zum Quadrat.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\left(-3\right)\left(-2\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -3.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+12\left(-2\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie 12 mit -2.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-24}}{2\left(-3\right)}$$

Addieren Sie 64 zu -24.

$$x=\frac{-8±\sqrt{40}}{2\left(-3\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 40.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{10}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -3.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{10}}{-6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-8±2\sqrt{10}}{-6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -8 zu 2\sqrt{10}.

$$x=\frac{2\sqrt{10}-8}{-6}$$

Dividieren Sie -8+2\sqrt{10} durch -6.

$$x=\frac{4-\sqrt{10}}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-8±2\sqrt{10}}{-6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{10} von -8.

$$x=\frac{-2\sqrt{10}-8}{-6}$$

Dividieren Sie -8-2\sqrt{10} durch -6.

$$x=\frac{\sqrt{10}+4}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{4-\sqrt{10}}{3} x=\frac{\sqrt{10}+4}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Subtrahieren Sie 3x^{2} von beiden Seiten.

$$x-3x^{2}=-7x+2$$

Auf beiden Seiten 7x addieren.

$$x-3x^{2}+7x=2$$

Kombinieren Sie x und 7x, um 8x zu erhalten.

$$8x-3x^{2}=2$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-3x^{2}+8x=2$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -3.

$$\frac{-3x^{2}+8x}{-3}=\frac{2}{-3}$$

Division durch -3 macht die Multiplikation mit -3 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{8}{-3}x=\frac{2}{-3}$$

Dividieren Sie 8 durch -3.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=\frac{2}{-3}$$

Dividieren Sie 2 durch -3.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=-\frac{2}{3}$$

Dividieren Sie -\frac{8}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{4}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{4}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{3}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{4}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=-\frac{2}{3}+\frac{16}{9}$$

Addieren Sie -\frac{2}{3} zu \frac{16}{9}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{10}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{10}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{10}{9}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{4}{3}=\frac{\sqrt{10}}{3} x-\frac{4}{3}=-\frac{\sqrt{10}}{3}$$

Addieren Sie \frac{4}{3} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{10}+4}{3} x=\frac{4-\sqrt{10}}{3}$$