(x)=3(x-5)(x+3) lösen

$$( x ) = 3 ( x - 5 ) ( x + 3 )$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{589} + 7}{6} \approx 5,2115537$$

$$x=\frac{7-\sqrt{589}}{6}\approx -2,878220367$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 3 mit x-5 zu multiplizieren.

$$x=\left(3x-15\right)\left(x+3\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 3x-15 mit x+3 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$x=3x^{2}-6x-45$$

Subtrahieren Sie 3x^{2} von beiden Seiten.

$$x-3x^{2}=-6x-45$$

Auf beiden Seiten 6x addieren.

$$x-3x^{2}+6x=-45$$

Kombinieren Sie x und 6x, um 7x zu erhalten.

$$7x-3x^{2}=-45$$

Auf beiden Seiten 45 addieren.

$$7x-3x^{2}+45=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-3x^{2}+7x+45=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -3, b durch 7 und c durch 45, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\left(-3\right)\times 45}}{2\left(-3\right)}$$

7 zum Quadrat.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\left(-3\right)\times 45}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -3.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+12\times 45}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie 12 mit 45.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+540}}{2\left(-3\right)}$$

Addieren Sie 49 zu 540.

$$x=\frac{-7±\sqrt{589}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -3.

$$x=\frac{-7±\sqrt{589}}{-6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-7±\sqrt{589}}{-6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -7 zu \sqrt{589}.

$$x=\frac{\sqrt{589}-7}{-6}$$

Dividieren Sie -7+\sqrt{589} durch -6.

$$x=\frac{7-\sqrt{589}}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-7±\sqrt{589}}{-6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \sqrt{589} von -7.

$$x=\frac{-\sqrt{589}-7}{-6}$$

Dividieren Sie -7-\sqrt{589} durch -6.

$$x=\frac{\sqrt{589}+7}{6}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{7-\sqrt{589}}{6} x=\frac{\sqrt{589}+7}{6}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 3 mit x-5 zu multiplizieren.

$$x=\left(3x-15\right)\left(x+3\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 3x-15 mit x+3 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$x=3x^{2}-6x-45$$

Subtrahieren Sie 3x^{2} von beiden Seiten.

$$x-3x^{2}=-6x-45$$

Auf beiden Seiten 6x addieren.

$$x-3x^{2}+6x=-45$$

Kombinieren Sie x und 6x, um 7x zu erhalten.

$$7x-3x^{2}=-45$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-3x^{2}+7x=-45$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -3.

$$\frac{-3x^{2}+7x}{-3}=-\frac{45}{-3}$$

Division durch -3 macht die Multiplikation mit -3 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{7}{-3}x=-\frac{45}{-3}$$

Dividieren Sie 7 durch -3.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=-\frac{45}{-3}$$

Dividieren Sie -45 durch -3.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=15$$

Dividieren Sie -\frac{7}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{7}{6} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{7}{6} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=15+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{7}{6}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=15+\frac{49}{36}$$

Addieren Sie 15 zu \frac{49}{36}.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{589}{36}$$

Faktor x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{589}{36}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{589}{36}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{7}{6}=\frac{\sqrt{589}}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{\sqrt{589}}{6}$$

Addieren Sie \frac{7}{6} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{589}+7}{6} x=\frac{7-\sqrt{589}}{6}$$