(x)=-1/2x^2+21x^2-7x+100 lösen

$$( x ) = - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + 21 x ^ { 2 } - 7 x + 100$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{8+6\sqrt{226}i}{41}\approx 0,195121951+2,199994592i$$

$$x=\frac{-6\sqrt{226}i+8}{41}\approx 0,195121951-2,199994592i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Kombinieren Sie -\frac{1}{2}x^{2} und 21x^{2}, um \frac{41}{2}x^{2} zu erhalten.

$$x=\frac{41}{2}x^{2}-7x+100$$

Subtrahieren Sie \frac{41}{2}x^{2} von beiden Seiten.

$$x-\frac{41}{2}x^{2}=-7x+100$$

Auf beiden Seiten 7x addieren.

$$x-\frac{41}{2}x^{2}+7x=100$$

Kombinieren Sie x und 7x, um 8x zu erhalten.

$$8x-\frac{41}{2}x^{2}=100$$

Subtrahieren Sie 100 von beiden Seiten.

$$8x-\frac{41}{2}x^{2}-100=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-\frac{41}{2}x^{2}+8x-100=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -\frac{41}{2}, b durch 8 und c durch -100, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\left(-\frac{41}{2}\right)\left(-100\right)}}{2\left(-\frac{41}{2}\right)}$$

8 zum Quadrat.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\left(-\frac{41}{2}\right)\left(-100\right)}}{2\left(-\frac{41}{2}\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -\frac{41}{2}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+82\left(-100\right)}}{2\left(-\frac{41}{2}\right)}$$

Multiplizieren Sie 82 mit -100.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-8200}}{2\left(-\frac{41}{2}\right)}$$

Addieren Sie 64 zu -8200.

$$x=\frac{-8±\sqrt{-8136}}{2\left(-\frac{41}{2}\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -8136.

$$x=\frac{-8±6\sqrt{226}i}{2\left(-\frac{41}{2}\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -\frac{41}{2}.

$$x=\frac{-8±6\sqrt{226}i}{-41}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-8±6\sqrt{226}i}{-41}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -8 zu 6i\sqrt{226}.

$$x=\frac{-8+6\sqrt{226}i}{-41}$$

Dividieren Sie -8+6i\sqrt{226} durch -41.

$$x=\frac{-6\sqrt{226}i+8}{41}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-8±6\sqrt{226}i}{-41}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 6i\sqrt{226} von -8.

$$x=\frac{-6\sqrt{226}i-8}{-41}$$

Dividieren Sie -8-6i\sqrt{226} durch -41.

$$x=\frac{8+6\sqrt{226}i}{41}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{-6\sqrt{226}i+8}{41} x=\frac{8+6\sqrt{226}i}{41}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Kombinieren Sie -\frac{1}{2}x^{2} und 21x^{2}, um \frac{41}{2}x^{2} zu erhalten.

$$x=\frac{41}{2}x^{2}-7x+100$$

Subtrahieren Sie \frac{41}{2}x^{2} von beiden Seiten.

$$x-\frac{41}{2}x^{2}=-7x+100$$

Auf beiden Seiten 7x addieren.

$$x-\frac{41}{2}x^{2}+7x=100$$

Kombinieren Sie x und 7x, um 8x zu erhalten.

$$8x-\frac{41}{2}x^{2}=100$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-\frac{41}{2}x^{2}+8x=100$$

Beide Seiten der Gleichung durch -\frac{41}{2} dividieren, was gleichbedeutend mit der Multiplikation beider Seiten mit dem Kehrwert des Bruchs ist.

$$\frac{-\frac{41}{2}x^{2}+8x}{-\frac{41}{2}}=\frac{100}{-\frac{41}{2}}$$

Division durch -\frac{41}{2} macht die Multiplikation mit -\frac{41}{2} rückgängig.

$$x^{2}+\frac{8}{-\frac{41}{2}}x=\frac{100}{-\frac{41}{2}}$$

Dividieren Sie 8 durch -\frac{41}{2}, indem Sie 8 mit dem Kehrwert von -\frac{41}{2} multiplizieren.

$$x^{2}-\frac{16}{41}x=\frac{100}{-\frac{41}{2}}$$

Dividieren Sie 100 durch -\frac{41}{2}, indem Sie 100 mit dem Kehrwert von -\frac{41}{2} multiplizieren.

$$x^{2}-\frac{16}{41}x=-\frac{200}{41}$$

Dividieren Sie -\frac{16}{41}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{8}{41} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{8}{41} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{16}{41}x+\left(-\frac{8}{41}\right)^{2}=-\frac{200}{41}+\left(-\frac{8}{41}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{8}{41}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{16}{41}x+\frac{64}{1681}=-\frac{200}{41}+\frac{64}{1681}$$

Addieren Sie -\frac{200}{41} zu \frac{64}{1681}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{16}{41}x+\frac{64}{1681}=-\frac{8136}{1681}$$

Faktor x^{2}-\frac{16}{41}x+\frac{64}{1681}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{8}{41}\right)^{2}=-\frac{8136}{1681}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{8}{41}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{8136}{1681}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{8}{41}=\frac{6\sqrt{226}i}{41} x-\frac{8}{41}=-\frac{6\sqrt{226}i}{41}$$

Addieren Sie \frac{8}{41} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{8+6\sqrt{226}i}{41} x=\frac{-6\sqrt{226}i+8}{41}$$