(x+3)^2+(3x-8)(3x+8)+1=3[x(x+3)+6] lösen

$$( x + 3 ) ^ { 2 } + ( 3 x - 8 ) ( 3 x + 8 ) + 1 = 3 [ x ( x + 3 ) + 6 ]$$

Nach x auflösen

$$x=-3$$

$$x = \frac{24}{7} = 3\frac{3}{7} \approx 3,428571429$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

\left(x+3\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Betrachten Sie \left(3x-8\right)\left(3x+8\right). Die Multiplikation kann mithilfe folgender Regel in die Differenz von Quadratzahlen transformiert werden: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. 8 zum Quadrat.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x\right)^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Erweitern Sie \left(3x\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+3^{2}x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Potenzieren Sie 3 mit 2, und erhalten Sie 9.

$$x^{2}+6x+9+9x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Kombinieren Sie x^{2} und 9x^{2}, um 10x^{2} zu erhalten.

$$10x^{2}+6x+9-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Subtrahieren Sie 64 von 9, um -55 zu erhalten.

$$10x^{2}+6x-55+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Addieren Sie -55 und 1, um -54 zu erhalten.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x mit x+3 zu multiplizieren.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x^{2}+3x+6\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 3 mit x^{2}+3x+6 zu multiplizieren.

$$10x^{2}+6x-54=3x^{2}+9x+18$$

Subtrahieren Sie 3x^{2} von beiden Seiten.

$$10x^{2}+6x-54-3x^{2}=9x+18$$

Kombinieren Sie 10x^{2} und -3x^{2}, um 7x^{2} zu erhalten.

$$7x^{2}+6x-54=9x+18$$

Subtrahieren Sie 9x von beiden Seiten.

$$7x^{2}+6x-54-9x=18$$

Kombinieren Sie 6x und -9x, um -3x zu erhalten.

$$7x^{2}-3x-54=18$$

Subtrahieren Sie 18 von beiden Seiten.

$$7x^{2}-3x-54-18=0$$

Subtrahieren Sie 18 von -54, um -72 zu erhalten.

$$7x^{2}-3x-72=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 7x^{2}+ax+bx-72 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-3 ab=7\left(-72\right)=-504$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -504 ergeben.

$$1,-504 2,-252 3,-168 4,-126 6,-84 7,-72 8,-63 9,-56 12,-42 14,-36 18,-28 21,-24$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-504=-503 2-252=-250 3-168=-165 4-126=-122 6-84=-78 7-72=-65 8-63=-55 9-56=-47 12-42=-30 14-36=-22 18-28=-10 21-24=-3$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -3 ergibt.

$$a=-24 b=21$$

7x^{2}-3x-72 als \left(7x^{2}-24x\right)+\left(21x-72\right) umschreiben.

$$\left(7x^{2}-24x\right)+\left(21x-72\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 3 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(7x-24\right)+3\left(7x-24\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 7x-24 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(7x-24\right)\left(x+3\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 7x-24=0 und x+3=0.

$$x=\frac{24}{7} x=-3$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

\left(x+3\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Betrachten Sie \left(3x-8\right)\left(3x+8\right). Die Multiplikation kann mithilfe folgender Regel in die Differenz von Quadratzahlen transformiert werden: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. 8 zum Quadrat.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x\right)^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Erweitern Sie \left(3x\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+3^{2}x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Potenzieren Sie 3 mit 2, und erhalten Sie 9.

$$x^{2}+6x+9+9x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Kombinieren Sie x^{2} und 9x^{2}, um 10x^{2} zu erhalten.

$$10x^{2}+6x+9-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Subtrahieren Sie 64 von 9, um -55 zu erhalten.

$$10x^{2}+6x-55+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Addieren Sie -55 und 1, um -54 zu erhalten.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x mit x+3 zu multiplizieren.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x^{2}+3x+6\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 3 mit x^{2}+3x+6 zu multiplizieren.

$$10x^{2}+6x-54=3x^{2}+9x+18$$

Subtrahieren Sie 3x^{2} von beiden Seiten.

$$10x^{2}+6x-54-3x^{2}=9x+18$$

Kombinieren Sie 10x^{2} und -3x^{2}, um 7x^{2} zu erhalten.

$$7x^{2}+6x-54=9x+18$$

Subtrahieren Sie 9x von beiden Seiten.

$$7x^{2}+6x-54-9x=18$$

Kombinieren Sie 6x und -9x, um -3x zu erhalten.

$$7x^{2}-3x-54=18$$

Subtrahieren Sie 18 von beiden Seiten.

$$7x^{2}-3x-54-18=0$$

Subtrahieren Sie 18 von -54, um -72 zu erhalten.

$$7x^{2}-3x-72=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 7, b durch -3 und c durch -72, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 7\left(-72\right)}}{2\times 7}$$

-3 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 7\left(-72\right)}}{2\times 7}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 7.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-28\left(-72\right)}}{2\times 7}$$

Multiplizieren Sie -28 mit -72.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+2016}}{2\times 7}$$

Addieren Sie 9 zu 2016.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{2025}}{2\times 7}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 2025.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±45}{2\times 7}$$

Das Gegenteil von -3 ist 3.

$$x=\frac{3±45}{2\times 7}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 7.

$$x=\frac{3±45}{14}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{3±45}{14}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 3 zu 45.

$$x=\frac{48}{14}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{48}{14} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{24}{7}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{3±45}{14}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 45 von 3.

$$x=-\frac{42}{14}$$

Dividieren Sie -42 durch 14.

$$x=-3$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{24}{7} x=-3$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

\left(x+3\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Betrachten Sie \left(3x-8\right)\left(3x+8\right). Die Multiplikation kann mithilfe folgender Regel in die Differenz von Quadratzahlen transformiert werden: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. 8 zum Quadrat.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x\right)^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Erweitern Sie \left(3x\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+3^{2}x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Potenzieren Sie 3 mit 2, und erhalten Sie 9.

$$x^{2}+6x+9+9x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Kombinieren Sie x^{2} und 9x^{2}, um 10x^{2} zu erhalten.

$$10x^{2}+6x+9-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Subtrahieren Sie 64 von 9, um -55 zu erhalten.

$$10x^{2}+6x-55+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Addieren Sie -55 und 1, um -54 zu erhalten.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x mit x+3 zu multiplizieren.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x^{2}+3x+6\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 3 mit x^{2}+3x+6 zu multiplizieren.

$$10x^{2}+6x-54=3x^{2}+9x+18$$

Subtrahieren Sie 3x^{2} von beiden Seiten.

$$10x^{2}+6x-54-3x^{2}=9x+18$$

Kombinieren Sie 10x^{2} und -3x^{2}, um 7x^{2} zu erhalten.

$$7x^{2}+6x-54=9x+18$$

Subtrahieren Sie 9x von beiden Seiten.

$$7x^{2}+6x-54-9x=18$$

Kombinieren Sie 6x und -9x, um -3x zu erhalten.

$$7x^{2}-3x-54=18$$

Auf beiden Seiten 54 addieren.

$$7x^{2}-3x=18+54$$

Addieren Sie 18 und 54, um 72 zu erhalten.

$$7x^{2}-3x=72$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 7.

$$\frac{7x^{2}-3x}{7}=\frac{72}{7}$$

Division durch 7 macht die Multiplikation mit 7 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x=\frac{72}{7}$$

Dividieren Sie -\frac{3}{7}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{3}{14} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{3}{14} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\left(-\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{72}{7}+\left(-\frac{3}{14}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{3}{14}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{72}{7}+\frac{9}{196}$$

Addieren Sie \frac{72}{7} zu \frac{9}{196}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{2025}{196}$$

Faktor x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{2025}{196}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2025}{196}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{3}{14}=\frac{45}{14} x-\frac{3}{14}=-\frac{45}{14}$$

Addieren Sie \frac{3}{14} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{24}{7} x=-3$$