(v+4)^2=2v^2+2v+9 lösen

$$( v + 4 ) ^ { 2 } = 2 v ^ { 2 } + 2 v + 9$$

Nach v auflösen

$$v=-1$$

$$v=7$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

\left(v+4\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$v^{2}+8v+16=2v^{2}+2v+9$$

Subtrahieren Sie 2v^{2} von beiden Seiten.

$$v^{2}+8v+16-2v^{2}=2v+9$$

Kombinieren Sie v^{2} und -2v^{2}, um -v^{2} zu erhalten.

$$-v^{2}+8v+16=2v+9$$

Subtrahieren Sie 2v von beiden Seiten.

$$-v^{2}+8v+16-2v=9$$

Kombinieren Sie 8v und -2v, um 6v zu erhalten.

$$-v^{2}+6v+16=9$$

Subtrahieren Sie 9 von beiden Seiten.

$$-v^{2}+6v+16-9=0$$

Subtrahieren Sie 9 von 16, um 7 zu erhalten.

$$-v^{2}+6v+7=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als -v^{2}+av+bv+7 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=6 ab=-7=-7$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Das einzige derartige Paar ist die Lösung des Systems.

$$a=7 b=-1$$

-v^{2}+6v+7 als \left(-v^{2}+7v\right)+\left(-v+7\right) umschreiben.

$$\left(-v^{2}+7v\right)+\left(-v+7\right)$$

Klammern Sie -v in der ersten und -1 in der zweiten Gruppe aus.

$$-v\left(v-7\right)-\left(v-7\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term v-7 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(v-7\right)\left(-v-1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie v-7=0 und -v-1=0.

$$v=7 v=-1$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

\left(v+4\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$v^{2}+8v+16=2v^{2}+2v+9$$

Subtrahieren Sie 2v^{2} von beiden Seiten.

$$v^{2}+8v+16-2v^{2}=2v+9$$

Kombinieren Sie v^{2} und -2v^{2}, um -v^{2} zu erhalten.

$$-v^{2}+8v+16=2v+9$$

Subtrahieren Sie 2v von beiden Seiten.

$$-v^{2}+8v+16-2v=9$$

Kombinieren Sie 8v und -2v, um 6v zu erhalten.

$$-v^{2}+6v+16=9$$

Subtrahieren Sie 9 von beiden Seiten.

$$-v^{2}+6v+16-9=0$$

Subtrahieren Sie 9 von 16, um 7 zu erhalten.

$$-v^{2}+6v+7=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -1, b durch 6 und c durch 7, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$v=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-1\right)\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

6 zum Quadrat.

$$v=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-1\right)\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -1.

$$v=\frac{-6±\sqrt{36+4\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 4 mit 7.

$$v=\frac{-6±\sqrt{36+28}}{2\left(-1\right)}$$

Addieren Sie 36 zu 28.

$$v=\frac{-6±\sqrt{64}}{2\left(-1\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 64.

$$v=\frac{-6±8}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -1.

$$v=\frac{-6±8}{-2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung v=\frac{-6±8}{-2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -6 zu 8.

$$v=\frac{2}{-2}$$

Dividieren Sie 2 durch -2.

$$v=-1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung v=\frac{-6±8}{-2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 8 von -6.

$$v=-\frac{14}{-2}$$

Dividieren Sie -14 durch -2.

$$v=7$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$v=-1 v=7$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

\left(v+4\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$v^{2}+8v+16=2v^{2}+2v+9$$

Subtrahieren Sie 2v^{2} von beiden Seiten.

$$v^{2}+8v+16-2v^{2}=2v+9$$

Kombinieren Sie v^{2} und -2v^{2}, um -v^{2} zu erhalten.

$$-v^{2}+8v+16=2v+9$$

Subtrahieren Sie 2v von beiden Seiten.

$$-v^{2}+8v+16-2v=9$$

Kombinieren Sie 8v und -2v, um 6v zu erhalten.

$$-v^{2}+6v+16=9$$

Subtrahieren Sie 16 von beiden Seiten.

$$-v^{2}+6v=9-16$$

Subtrahieren Sie 16 von 9, um -7 zu erhalten.

$$-v^{2}+6v=-7$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -1.

$$\frac{-v^{2}+6v}{-1}=-\frac{7}{-1}$$

Division durch -1 macht die Multiplikation mit -1 rückgängig.

$$v^{2}+\frac{6}{-1}v=-\frac{7}{-1}$$

Dividieren Sie 6 durch -1.

$$v^{2}-6v=-\frac{7}{-1}$$

Dividieren Sie -7 durch -1.

$$v^{2}-6v=7$$

Dividieren Sie -6, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -3 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -3 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$v^{2}-6v+\left(-3\right)^{2}=7+\left(-3\right)^{2}$$

-3 zum Quadrat.

$$v^{2}-6v+9=7+9$$

Addieren Sie 7 zu 9.

$$v^{2}-6v+9=16$$

Faktor v^{2}-6v+9. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(v-3\right)^{2}=16$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(v-3\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Vereinfachen.

$$v-3=4 v-3=-4$$

Addieren Sie 3 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$v=7 v=-1$$