(k+1/4)^2-1/16-1/5=0 lösen

$$( k + \frac { 1 } { 4 } ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 16 } - \frac { 1 } { 5 } = 0$$

Nach k auflösen

$$k=\frac{\sqrt{105}}{20}-\frac{1}{4}\approx 0,262347538$$

$$k=-\frac{\sqrt{105}}{20}-\frac{1}{4}\approx -0,762347538$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

\left(k+\frac{1}{4}\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$k^{2}+\frac{1}{2}k+\frac{1}{16}-\frac{1}{16}-\frac{1}{5}=0$$

Subtrahieren Sie \frac{1}{16} von \frac{1}{16}, um 0 zu erhalten.

$$k^{2}+\frac{1}{2}k-\frac{1}{5}=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch \frac{1}{2} und c durch -\frac{1}{5}, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-4\left(-\frac{1}{5}\right)}}{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{1}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$k=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}-4\left(-\frac{1}{5}\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -\frac{1}{5}.

$$k=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{4}{5}}}{2}$$

Addieren Sie \frac{1}{4} zu \frac{4}{5}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$k=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{21}{20}}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus \frac{21}{20}.

$$k=\frac{-\frac{1}{2}±\frac{\sqrt{105}}{10}}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung k=\frac{-\frac{1}{2}±\frac{\sqrt{105}}{10}}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -\frac{1}{2} zu \frac{\sqrt{105}}{10}.

$$k=\frac{\frac{\sqrt{105}}{10}-\frac{1}{2}}{2}$$

Dividieren Sie -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{105}}{10} durch 2.

$$k=\frac{\sqrt{105}}{20}-\frac{1}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung k=\frac{-\frac{1}{2}±\frac{\sqrt{105}}{10}}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \frac{\sqrt{105}}{10} von -\frac{1}{2}.

$$k=\frac{-\frac{\sqrt{105}}{10}-\frac{1}{2}}{2}$$

Dividieren Sie -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{105}}{10} durch 2.

$$k=-\frac{\sqrt{105}}{20}-\frac{1}{4}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$k=\frac{\sqrt{105}}{20}-\frac{1}{4} k=-\frac{\sqrt{105}}{20}-\frac{1}{4}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

\left(k+\frac{1}{4}\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$k^{2}+\frac{1}{2}k+\frac{1}{16}-\frac{1}{16}-\frac{1}{5}=0$$

Subtrahieren Sie \frac{1}{16} von \frac{1}{16}, um 0 zu erhalten.

$$k^{2}+\frac{1}{2}k-\frac{1}{5}=0$$

Auf beiden Seiten \frac{1}{5} addieren. Eine beliebige Zahl plus null ergibt sich selbst.

$$k^{2}+\frac{1}{2}k=\frac{1}{5}$$

Dividieren Sie \frac{1}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{1}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{1}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$k^{2}+\frac{1}{2}k+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{1}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$k^{2}+\frac{1}{2}k+\frac{1}{16}=\frac{1}{5}+\frac{1}{16}$$

Addieren Sie \frac{1}{5} zu \frac{1}{16}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$k^{2}+\frac{1}{2}k+\frac{1}{16}=\frac{21}{80}$$

Faktor k^{2}+\frac{1}{2}k+\frac{1}{16}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(k+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{21}{80}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(k+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{21}{80}}$$

Vereinfachen.

$$k+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{105}}{20} k+\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{105}}{20}$$

\frac{1}{4} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$k=\frac{\sqrt{105}}{20}-\frac{1}{4} k=-\frac{\sqrt{105}}{20}-\frac{1}{4}$$