(9-x)(x-4)=3x lösen

$$( 9 - x ) ( x - 4 ) = 3 x$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=-\sqrt{11}i+5\approx 5-3,31662479i$$

$$x=5+\sqrt{11}i\approx 5+3,31662479i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 9-x mit x-4 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$13x-36-x^{2}=3x$$

Subtrahieren Sie 3x von beiden Seiten.

$$13x-36-x^{2}-3x=0$$

Kombinieren Sie 13x und -3x, um 10x zu erhalten.

$$10x-36-x^{2}=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-x^{2}+10x-36=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -1, b durch 10 und c durch -36, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-1\right)\left(-36\right)}}{2\left(-1\right)}$$

10 zum Quadrat.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\left(-1\right)\left(-36\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -1.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+4\left(-36\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 4 mit -36.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-144}}{2\left(-1\right)}$$

Addieren Sie 100 zu -144.

$$x=\frac{-10±\sqrt{-44}}{2\left(-1\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -44.

$$x=\frac{-10±2\sqrt{11}i}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -1.

$$x=\frac{-10±2\sqrt{11}i}{-2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-10±2\sqrt{11}i}{-2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -10 zu 2i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-10+2\sqrt{11}i}{-2}$$

Dividieren Sie -10+2i\sqrt{11} durch -2.

$$x=-\sqrt{11}i+5$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-10±2\sqrt{11}i}{-2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2i\sqrt{11} von -10.

$$x=\frac{-2\sqrt{11}i-10}{-2}$$

Dividieren Sie -10-2i\sqrt{11} durch -2.

$$x=5+\sqrt{11}i$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-\sqrt{11}i+5 x=5+\sqrt{11}i$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 9-x mit x-4 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$13x-36-x^{2}=3x$$

Subtrahieren Sie 3x von beiden Seiten.

$$13x-36-x^{2}-3x=0$$

Kombinieren Sie 13x und -3x, um 10x zu erhalten.

$$10x-36-x^{2}=0$$

Auf beiden Seiten 36 addieren. Eine beliebige Zahl plus null ergibt sich selbst.

$$10x-x^{2}=36$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-x^{2}+10x=36$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -1.

$$\frac{-x^{2}+10x}{-1}=\frac{36}{-1}$$

Division durch -1 macht die Multiplikation mit -1 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{10}{-1}x=\frac{36}{-1}$$

Dividieren Sie 10 durch -1.

$$x^{2}-10x=\frac{36}{-1}$$

Dividieren Sie 36 durch -1.

$$x^{2}-10x=-36$$

Dividieren Sie -10, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -5 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -5 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-10x+\left(-5\right)^{2}=-36+\left(-5\right)^{2}$$

-5 zum Quadrat.

$$x^{2}-10x+25=-36+25$$

Addieren Sie -36 zu 25.

$$x^{2}-10x+25=-11$$

Faktor x^{2}-10x+25. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-5\right)^{2}=-11$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-5\right)^{2}}=\sqrt{-11}$$

Vereinfachen.

$$x-5=\sqrt{11}i x-5=-\sqrt{11}i$$

Addieren Sie 5 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=5+\sqrt{11}i x=-\sqrt{11}i+5$$