(6x^2-21x-12) lösen

$$( 6 x ^ { 2 } - 21 x - 12 )$$

Faktorisieren

$$3\left(x-4\right)\left(2x+1\right)$$

Lösungsschritte

Klammern Sie 3 aus.

$$3\left(2x^{2}-7x-4\right)$$

Betrachten Sie 2x^{2}-7x-4. Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 2x^{2}+ax+bx-4 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-7 ab=2\left(-4\right)=-8$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -8 ergeben.

$$1,-8 2,-4$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-8=-7 2-4=-2$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -7 ergibt.

$$a=-8 b=1$$

2x^{2}-7x-4 als \left(2x^{2}-8x\right)+\left(x-4\right) umschreiben.

$$\left(2x^{2}-8x\right)+\left(x-4\right)$$

Klammern Sie 2x in 2x^{2}-8x aus.

$$2x\left(x-4\right)+x-4$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-4 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-4\right)\left(2x+1\right)$$

Schreiben Sie den vollständigen, faktorisierten Ausdruck um.

$$3\left(x-4\right)\left(2x+1\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$6x^{2}-21x-12=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 6\left(-12\right)}}{2\times 6}$$

-21 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 6\left(-12\right)}}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 6.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-24\left(-12\right)}}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie -24 mit -12.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441+288}}{2\times 6}$$

Addieren Sie 441 zu 288.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{729}}{2\times 6}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 729.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±27}{2\times 6}$$

Das Gegenteil von -21 ist 21.

$$x=\frac{21±27}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 6.

$$x=\frac{21±27}{12}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{21±27}{12}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 21 zu 27.

$$x=\frac{48}{12}$$

Dividieren Sie 48 durch 12.

$$x=4$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{21±27}{12}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 27 von 21.

$$x=-\frac{6}{12}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-6}{12} um den niedrigsten Term, indem Sie 6 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} 4 und für x_{2} -\frac{1}{2} ein.

$$6x^{2}-21x-12=6\left(x-4\right)\left(x-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$6x^{2}-21x-12=6\left(x-4\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)$$

Addieren Sie \frac{1}{2} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$6x^{2}-21x-12=6\left(x-4\right)\times \frac{2x+1}{2}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 2 in 6 und 2 aufheben.

$$6x^{2}-21x-12=3\left(x-4\right)\left(2x+1\right)$$

Auswerten

$$3\left(x-4\right)\left(2x+1\right)$$