(5x-4)^2=81 lösen

$$( 5 x - 4 ) ^ { 2 } = 81$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{13}{5} = 2\frac{3}{5} = 2,6$$

$$x=-1$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

\left(5x-4\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$25x^{2}-40x+16=81$$

Subtrahieren Sie 81 von beiden Seiten.

$$25x^{2}-40x+16-81=0$$

Subtrahieren Sie 81 von 16, um -65 zu erhalten.

$$25x^{2}-40x-65=0$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$5x^{2}-8x-13=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 5x^{2}+ax+bx-13 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-8 ab=5\left(-13\right)=-65$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -65 ergeben.

$$1,-65 5,-13$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-65=-64 5-13=-8$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -8 ergibt.

$$a=-13 b=5$$

5x^{2}-8x-13 als \left(5x^{2}-13x\right)+\left(5x-13\right) umschreiben.

$$\left(5x^{2}-13x\right)+\left(5x-13\right)$$

Klammern Sie x in 5x^{2}-13x aus.

$$x\left(5x-13\right)+5x-13$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 5x-13 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(5x-13\right)\left(x+1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 5x-13=0 und x+1=0.

$$x=\frac{13}{5} x=-1$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

\left(5x-4\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$25x^{2}-40x+16=81$$

Subtrahieren Sie 81 von beiden Seiten.

$$25x^{2}-40x+16-81=0$$

Subtrahieren Sie 81 von 16, um -65 zu erhalten.

$$25x^{2}-40x-65=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 25, b durch -40 und c durch -65, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 25\left(-65\right)}}{2\times 25}$$

-40 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 25\left(-65\right)}}{2\times 25}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 25.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-100\left(-65\right)}}{2\times 25}$$

Multiplizieren Sie -100 mit -65.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600+6500}}{2\times 25}$$

Addieren Sie 1600 zu 6500.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{8100}}{2\times 25}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 8100.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±90}{2\times 25}$$

Das Gegenteil von -40 ist 40.

$$x=\frac{40±90}{2\times 25}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 25.

$$x=\frac{40±90}{50}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{40±90}{50}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 40 zu 90.

$$x=\frac{130}{50}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{130}{50} um den niedrigsten Term, indem Sie 10 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{13}{5}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{40±90}{50}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 90 von 40.

$$x=-\frac{50}{50}$$

Dividieren Sie -50 durch 50.

$$x=-1$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{13}{5} x=-1$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

\left(5x-4\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$25x^{2}-40x+16=81$$

Subtrahieren Sie 16 von beiden Seiten.

$$25x^{2}-40x=81-16$$

Subtrahieren Sie 16 von 81, um 65 zu erhalten.

$$25x^{2}-40x=65$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 25.

$$\frac{25x^{2}-40x}{25}=\frac{65}{25}$$

Division durch 25 macht die Multiplikation mit 25 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{25}\right)x=\frac{65}{25}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-40}{25} um den niedrigsten Term, indem Sie 5 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x=\frac{65}{25}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{65}{25} um den niedrigsten Term, indem Sie 5 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x=\frac{13}{5}$$

Dividieren Sie -\frac{8}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{4}{5} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{4}{5} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{13}{5}+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{4}{5}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{13}{5}+\frac{16}{25}$$

Addieren Sie \frac{13}{5} zu \frac{16}{25}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{81}{25}$$

Faktor x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{81}{25}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{25}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{4}{5}=\frac{9}{5} x-\frac{4}{5}=-\frac{9}{5}$$

Addieren Sie \frac{4}{5} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{13}{5} x=-1$$