(5x-2)^2-(2x-1)(2x+1)=47+x lösen

$$( 5 x - 2 ) ^ { 2 } - ( 2 x - 1 ) ( 2 x + 1 ) = 47 + x$$

Nach x auflösen

$$x=-1$$

$$x=2$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

\left(5x-2\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Betrachten Sie \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). Die Multiplikation kann mithilfe folgender Regel in die Differenz von Quadratzahlen transformiert werden: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. 1 zum Quadrat.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Erweitern Sie \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Potenzieren Sie 2 mit 2, und erhalten Sie 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

Um das Gegenteil von "4x^{2}-1" zu finden, suchen Sie nach dem Gegenteil jedes Terms.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Kombinieren Sie 25x^{2} und -4x^{2}, um 21x^{2} zu erhalten.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

Addieren Sie 4 und 1, um 5 zu erhalten.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Subtrahieren Sie 47 von beiden Seiten.

$$21x^{2}-20x+5-47=x$$

Subtrahieren Sie 47 von 5, um -42 zu erhalten.

$$21x^{2}-20x-42=x$$

Subtrahieren Sie x von beiden Seiten.

$$21x^{2}-20x-42-x=0$$

Kombinieren Sie -20x und -x, um -21x zu erhalten.

$$21x^{2}-21x-42=0$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 21.

$$x^{2}-x-2=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx-2 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-1 ab=1\left(-2\right)=-2$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Das einzige derartige Paar ist die Lösung des Systems.

$$a=-2 b=1$$

x^{2}-x-2 als \left(x^{2}-2x\right)+\left(x-2\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(x-2\right)$$

Klammern Sie x in x^{2}-2x aus.

$$x\left(x-2\right)+x-2$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-2 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-2=0 und x+1=0.

$$x=2 x=-1$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

\left(5x-2\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Betrachten Sie \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). Die Multiplikation kann mithilfe folgender Regel in die Differenz von Quadratzahlen transformiert werden: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. 1 zum Quadrat.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Erweitern Sie \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Potenzieren Sie 2 mit 2, und erhalten Sie 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

Um das Gegenteil von "4x^{2}-1" zu finden, suchen Sie nach dem Gegenteil jedes Terms.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Kombinieren Sie 25x^{2} und -4x^{2}, um 21x^{2} zu erhalten.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

Addieren Sie 4 und 1, um 5 zu erhalten.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Subtrahieren Sie 47 von beiden Seiten.

$$21x^{2}-20x+5-47=x$$

Subtrahieren Sie 47 von 5, um -42 zu erhalten.

$$21x^{2}-20x-42=x$$

Subtrahieren Sie x von beiden Seiten.

$$21x^{2}-20x-42-x=0$$

Kombinieren Sie -20x und -x, um -21x zu erhalten.

$$21x^{2}-21x-42=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 21, b durch -21 und c durch -42, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 21\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

-21 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 21\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 21.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-84\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Multiplizieren Sie -84 mit -42.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441+3528}}{2\times 21}$$

Addieren Sie 441 zu 3528.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{3969}}{2\times 21}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 3969.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±63}{2\times 21}$$

Das Gegenteil von -21 ist 21.

$$x=\frac{21±63}{2\times 21}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 21.

$$x=\frac{21±63}{42}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{21±63}{42}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 21 zu 63.

$$x=\frac{84}{42}$$

Dividieren Sie 84 durch 42.

$$x=2$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{21±63}{42}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 63 von 21.

$$x=-\frac{42}{42}$$

Dividieren Sie -42 durch 42.

$$x=-1$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=2 x=-1$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

\left(5x-2\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Betrachten Sie \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). Die Multiplikation kann mithilfe folgender Regel in die Differenz von Quadratzahlen transformiert werden: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. 1 zum Quadrat.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Erweitern Sie \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Potenzieren Sie 2 mit 2, und erhalten Sie 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

Um das Gegenteil von "4x^{2}-1" zu finden, suchen Sie nach dem Gegenteil jedes Terms.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Kombinieren Sie 25x^{2} und -4x^{2}, um 21x^{2} zu erhalten.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

Addieren Sie 4 und 1, um 5 zu erhalten.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Subtrahieren Sie x von beiden Seiten.

$$21x^{2}-20x+5-x=47$$

Kombinieren Sie -20x und -x, um -21x zu erhalten.

$$21x^{2}-21x+5=47$$

Subtrahieren Sie 5 von beiden Seiten.

$$21x^{2}-21x=47-5$$

Subtrahieren Sie 5 von 47, um 42 zu erhalten.

$$21x^{2}-21x=42$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 21.

$$\frac{21x^{2}-21x}{21}=\frac{42}{21}$$

Division durch 21 macht die Multiplikation mit 21 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{21}{21}\right)x=\frac{42}{21}$$

Dividieren Sie -21 durch 21.

$$x^{2}-x=\frac{42}{21}$$

Dividieren Sie 42 durch 21.

$$x^{2}-x=2$$

Dividieren Sie -1, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

Addieren Sie 2 zu \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

Faktor x^{2}-x+\frac{1}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

Addieren Sie \frac{1}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=2 x=-1$$