(5x-1)^2=16 lösen

$$( 5 x - 1 ) ^ { 2 } = 16$$

Nach x auflösen

$$x=1$$

$$x=-\frac{3}{5}=-0,6$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

\left(5x-1\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$25x^{2}-10x+1=16$$

Subtrahieren Sie 16 von beiden Seiten.

$$25x^{2}-10x+1-16=0$$

Subtrahieren Sie 16 von 1, um -15 zu erhalten.

$$25x^{2}-10x-15=0$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$5x^{2}-2x-3=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 5x^{2}+ax+bx-3 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-2 ab=5\left(-3\right)=-15$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -15 ergeben.

$$1,-15 3,-5$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-15=-14 3-5=-2$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -2 ergibt.

$$a=-5 b=3$$

5x^{2}-2x-3 als \left(5x^{2}-5x\right)+\left(3x-3\right) umschreiben.

$$\left(5x^{2}-5x\right)+\left(3x-3\right)$$

Klammern Sie 5x in der ersten und 3 in der zweiten Gruppe aus.

$$5x\left(x-1\right)+3\left(x-1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-1\right)\left(5x+3\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-1=0 und 5x+3=0.

$$x=1 x=-\frac{3}{5}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

\left(5x-1\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$25x^{2}-10x+1=16$$

Subtrahieren Sie 16 von beiden Seiten.

$$25x^{2}-10x+1-16=0$$

Subtrahieren Sie 16 von 1, um -15 zu erhalten.

$$25x^{2}-10x-15=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 25, b durch -10 und c durch -15, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 25\left(-15\right)}}{2\times 25}$$

-10 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 25\left(-15\right)}}{2\times 25}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 25.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-100\left(-15\right)}}{2\times 25}$$

Multiplizieren Sie -100 mit -15.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+1500}}{2\times 25}$$

Addieren Sie 100 zu 1500.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{1600}}{2\times 25}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 1600.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±40}{2\times 25}$$

Das Gegenteil von -10 ist 10.

$$x=\frac{10±40}{2\times 25}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 25.

$$x=\frac{10±40}{50}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{10±40}{50}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 10 zu 40.

$$x=\frac{50}{50}$$

Dividieren Sie 50 durch 50.

$$x=1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{10±40}{50}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 40 von 10.

$$x=-\frac{30}{50}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-30}{50} um den niedrigsten Term, indem Sie 10 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=1 x=-\frac{3}{5}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

\left(5x-1\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$25x^{2}-10x+1=16$$

Subtrahieren Sie 1 von beiden Seiten.

$$25x^{2}-10x=16-1$$

Subtrahieren Sie 1 von 16, um 15 zu erhalten.

$$25x^{2}-10x=15$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 25.

$$\frac{25x^{2}-10x}{25}=\frac{15}{25}$$

Division durch 25 macht die Multiplikation mit 25 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{25}\right)x=\frac{15}{25}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-10}{25} um den niedrigsten Term, indem Sie 5 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=\frac{15}{25}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{15}{25} um den niedrigsten Term, indem Sie 5 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=\frac{3}{5}$$

Dividieren Sie -\frac{2}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{5} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{5} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{3}{5}+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{5}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{3}{5}+\frac{1}{25}$$

Addieren Sie \frac{3}{5} zu \frac{1}{25}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{16}{25}$$

Faktor x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{16}{25}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{25}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{1}{5}=\frac{4}{5} x-\frac{1}{5}=-\frac{4}{5}$$

Addieren Sie \frac{1}{5} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=1 x=-\frac{3}{5}$$