(5x^2+6x+5)=0 lösen

$$( 5 x ^ { 2 } + 6 x + 5 ) = 0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=-\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i=-0,6+0,8i$$

$$x=-\frac{3}{5}-\frac{4}{5}i=-0,6-0,8i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$5x^{2}+6x+5=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 5, b durch 6 und c durch 5, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 5\times 5}}{2\times 5}$$

6 zum Quadrat.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 5\times 5}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-20\times 5}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -20 mit 5.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-100}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 36 zu -100.

$$x=\frac{-6±\sqrt{-64}}{2\times 5}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -64.

$$x=\frac{-6±8i}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$x=\frac{-6±8i}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-6±8i}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -6 zu 8i.

$$x=\frac{-6+8i}{10}$$

Dividieren Sie -6+8i durch 10.

$$x=-\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-6±8i}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 8i von -6.

$$x=\frac{-6-8i}{10}$$

Dividieren Sie -6-8i durch 10.

$$x=-\frac{3}{5}-\frac{4}{5}i$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i x=-\frac{3}{5}-\frac{4}{5}i$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$5x^{2}+6x+5=0$$

5 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$5x^{2}+6x+5-5=-5$$

Die Subtraktion von 5 von sich selbst ergibt 0.

$$5x^{2}+6x=-5$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$\frac{5x^{2}+6x}{5}=-\frac{5}{5}$$

Division durch 5 macht die Multiplikation mit 5 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=-\frac{5}{5}$$

Dividieren Sie -5 durch 5.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=-1$$

Dividieren Sie \frac{6}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{3}{5} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{3}{5} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=-1+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{3}{5}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=-1+\frac{9}{25}$$

Addieren Sie -1 zu \frac{9}{25}.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=-\frac{16}{25}$$

Faktor x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=-\frac{16}{25}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{16}{25}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{3}{5}=\frac{4}{5}i x+\frac{3}{5}=-\frac{4}{5}i$$

\frac{3}{5} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=-\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i x=-\frac{3}{5}-\frac{4}{5}i$$