(5x+7)^2=16 lösen

$$( 5 x + 7 ) ^ { 2 } = 16$$

Nach x auflösen

$$x=-\frac{3}{5}=-0,6$$

$$x = -\frac{11}{5} = -2\frac{1}{5} = -2,2$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

\left(5x+7\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$25x^{2}+70x+49=16$$

Subtrahieren Sie 16 von beiden Seiten.

$$25x^{2}+70x+49-16=0$$

Subtrahieren Sie 16 von 49, um 33 zu erhalten.

$$25x^{2}+70x+33=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 25x^{2}+ax+bx+33 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=70 ab=25\times 33=825$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 825 ergeben.

$$1,825 3,275 5,165 11,75 15,55 25,33$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+825=826 3+275=278 5+165=170 11+75=86 15+55=70 25+33=58$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 70 ergibt.

$$a=15 b=55$$

25x^{2}+70x+33 als \left(25x^{2}+15x\right)+\left(55x+33\right) umschreiben.

$$\left(25x^{2}+15x\right)+\left(55x+33\right)$$

Klammern Sie 5x in der ersten und 11 in der zweiten Gruppe aus.

$$5x\left(5x+3\right)+11\left(5x+3\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 5x+3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(5x+3\right)\left(5x+11\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 5x+3=0 und 5x+11=0.

$$x=-\frac{3}{5} x=-\frac{11}{5}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

\left(5x+7\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$25x^{2}+70x+49=16$$

Subtrahieren Sie 16 von beiden Seiten.

$$25x^{2}+70x+49-16=0$$

Subtrahieren Sie 16 von 49, um 33 zu erhalten.

$$25x^{2}+70x+33=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 25, b durch 70 und c durch 33, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-70±\sqrt{70^{2}-4\times 25\times 33}}{2\times 25}$$

70 zum Quadrat.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-4\times 25\times 33}}{2\times 25}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 25.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-100\times 33}}{2\times 25}$$

Multiplizieren Sie -100 mit 33.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-3300}}{2\times 25}$$

Addieren Sie 4900 zu -3300.

$$x=\frac{-70±\sqrt{1600}}{2\times 25}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 1600.

$$x=\frac{-70±40}{2\times 25}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 25.

$$x=\frac{-70±40}{50}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-70±40}{50}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -70 zu 40.

$$x=-\frac{30}{50}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-30}{50} um den niedrigsten Term, indem Sie 10 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-70±40}{50}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 40 von -70.

$$x=-\frac{110}{50}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-110}{50} um den niedrigsten Term, indem Sie 10 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{11}{5}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-\frac{3}{5} x=-\frac{11}{5}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

\left(5x+7\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$25x^{2}+70x+49=16$$

Subtrahieren Sie 49 von beiden Seiten.

$$25x^{2}+70x=16-49$$

Subtrahieren Sie 49 von 16, um -33 zu erhalten.

$$25x^{2}+70x=-33$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 25.

$$\frac{25x^{2}+70x}{25}=-\frac{33}{25}$$

Division durch 25 macht die Multiplikation mit 25 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{70}{25}x=-\frac{33}{25}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{70}{25} um den niedrigsten Term, indem Sie 5 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x=-\frac{33}{25}$$

Dividieren Sie \frac{14}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{7}{5} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{7}{5} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x+\left(\frac{7}{5}\right)^{2}=-\frac{33}{25}+\left(\frac{7}{5}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{7}{5}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x+\frac{49}{25}=\frac{-33+49}{25}$$

Addieren Sie -\frac{33}{25} zu \frac{49}{25}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x+\frac{49}{25}=\frac{16}{25}$$

Faktor x^{2}+\frac{14}{5}x+\frac{49}{25}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{7}{5}\right)^{2}=\frac{16}{25}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{25}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{7}{5}=\frac{4}{5} x+\frac{7}{5}=-\frac{4}{5}$$

\frac{7}{5} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=-\frac{3}{5} x=-\frac{11}{5}$$