(4x-1)^2=(x-1)(x+1) lösen

$$( 4 x - 1 ) ^ { 2 } = ( x - 1 ) ( x + 1 )$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{4+\sqrt{14}i}{15}\approx 0.266666667+0.249443826i$$

$$x=\frac{-\sqrt{14}i+4}{15}\approx 0.266666667-0.249443826i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

\left(4x-1\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$16x^{2}-8x+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Betrachten Sie \left(x-1\right)\left(x+1\right). Die Multiplikation kann mithilfe folgender Regel in die Differenz von Quadratzahlen transformiert werden: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. 1 zum Quadrat.

$$16x^{2}-8x+1=x^{2}-1$$

Subtrahieren Sie x^{2} von beiden Seiten.

$$16x^{2}-8x+1-x^{2}=-1$$

Kombinieren Sie 16x^{2} und -x^{2}, um 15x^{2} zu erhalten.

$$15x^{2}-8x+1=-1$$

Auf beiden Seiten 1 addieren.

$$15x^{2}-8x+1+1=0$$

Addieren Sie 1 und 1, um 2 zu erhalten.

$$15x^{2}-8x+2=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 15, b durch -8 und c durch 2, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

-8 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 15.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-60\times 2}}{2\times 15}$$

Multiplizieren Sie -60 mit 2.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-120}}{2\times 15}$$

Addieren Sie 64 zu -120.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{-56}}{2\times 15}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -56.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±2\sqrt{14}i}{2\times 15}$$

Das Gegenteil von -8 ist 8.

$$x=\frac{8±2\sqrt{14}i}{2\times 15}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 15.

$$x=\frac{8±2\sqrt{14}i}{30}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{8±2\sqrt{14}i}{30}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 8 zu 2i\sqrt{14}.

$$x=\frac{8+2\sqrt{14}i}{30}$$

Dividieren Sie 8+2i\sqrt{14} durch 30.

$$x=\frac{4+\sqrt{14}i}{15}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{8±2\sqrt{14}i}{30}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2i\sqrt{14} von 8.

$$x=\frac{-2\sqrt{14}i+8}{30}$$

Dividieren Sie 8-2i\sqrt{14} durch 30.

$$x=\frac{-\sqrt{14}i+4}{15}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{4+\sqrt{14}i}{15} x=\frac{-\sqrt{14}i+4}{15}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

\left(4x-1\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$16x^{2}-8x+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Betrachten Sie \left(x-1\right)\left(x+1\right). Die Multiplikation kann mithilfe folgender Regel in die Differenz von Quadratzahlen transformiert werden: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. 1 zum Quadrat.

$$16x^{2}-8x+1=x^{2}-1$$

Subtrahieren Sie x^{2} von beiden Seiten.

$$16x^{2}-8x+1-x^{2}=-1$$

Kombinieren Sie 16x^{2} und -x^{2}, um 15x^{2} zu erhalten.

$$15x^{2}-8x+1=-1$$

Subtrahieren Sie 1 von beiden Seiten.

$$15x^{2}-8x=-1-1$$

Subtrahieren Sie 1 von -1, um -2 zu erhalten.

$$15x^{2}-8x=-2$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 15.

$$\frac{15x^{2}-8x}{15}=-\frac{2}{15}$$

Division durch 15 macht die Multiplikation mit 15 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x=-\frac{2}{15}$$

Dividieren Sie -\frac{8}{15}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{4}{15} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{4}{15} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x+\left(-\frac{4}{15}\right)^{2}=-\frac{2}{15}+\left(-\frac{4}{15}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{4}{15}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x+\frac{16}{225}=-\frac{2}{15}+\frac{16}{225}$$

Addieren Sie -\frac{2}{15} zu \frac{16}{225}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x+\frac{16}{225}=-\frac{14}{225}$$

Faktor x^{2}-\frac{8}{15}x+\frac{16}{225}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x-\frac{4}{15}\right)^{2}=-\frac{14}{225}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{15}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{14}{225}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{4}{15}=\frac{\sqrt{14}i}{15} x-\frac{4}{15}=-\frac{\sqrt{14}i}{15}$$

Addieren Sie \frac{4}{15} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{4+\sqrt{14}i}{15} x=\frac{-\sqrt{14}i+4}{15}$$