(4x+6)^2=2x+3 lösen

$$( 4 x + 6 ) ^ { 2 } = 2 x + 3$$

Nach x auflösen

$$x = -\frac{11}{8} = -1\frac{3}{8} = -1,375$$

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

\left(4x+6\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$16x^{2}+48x+36=2x+3$$

Subtrahieren Sie 2x von beiden Seiten.

$$16x^{2}+48x+36-2x=3$$

Kombinieren Sie 48x und -2x, um 46x zu erhalten.

$$16x^{2}+46x+36=3$$

Subtrahieren Sie 3 von beiden Seiten.

$$16x^{2}+46x+36-3=0$$

Subtrahieren Sie 3 von 36, um 33 zu erhalten.

$$16x^{2}+46x+33=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 16x^{2}+ax+bx+33 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=46 ab=16\times 33=528$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 528 ergeben.

$$1,528 2,264 3,176 4,132 6,88 8,66 11,48 12,44 16,33 22,24$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+528=529 2+264=266 3+176=179 4+132=136 6+88=94 8+66=74 11+48=59 12+44=56 16+33=49 22+24=46$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 46 ergibt.

$$a=22 b=24$$

16x^{2}+46x+33 als \left(16x^{2}+22x\right)+\left(24x+33\right) umschreiben.

$$\left(16x^{2}+22x\right)+\left(24x+33\right)$$

Klammern Sie 2x in der ersten und 3 in der zweiten Gruppe aus.

$$2x\left(8x+11\right)+3\left(8x+11\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 8x+11 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(8x+11\right)\left(2x+3\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 8x+11=0 und 2x+3=0.

$$x=-\frac{11}{8} x=-\frac{3}{2}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

\left(4x+6\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$16x^{2}+48x+36=2x+3$$

Subtrahieren Sie 2x von beiden Seiten.

$$16x^{2}+48x+36-2x=3$$

Kombinieren Sie 48x und -2x, um 46x zu erhalten.

$$16x^{2}+46x+36=3$$

Subtrahieren Sie 3 von beiden Seiten.

$$16x^{2}+46x+36-3=0$$

Subtrahieren Sie 3 von 36, um 33 zu erhalten.

$$16x^{2}+46x+33=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 16, b durch 46 und c durch 33, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-46±\sqrt{46^{2}-4\times 16\times 33}}{2\times 16}$$

46 zum Quadrat.

$$x=\frac{-46±\sqrt{2116-4\times 16\times 33}}{2\times 16}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 16.

$$x=\frac{-46±\sqrt{2116-64\times 33}}{2\times 16}$$

Multiplizieren Sie -64 mit 33.

$$x=\frac{-46±\sqrt{2116-2112}}{2\times 16}$$

Addieren Sie 2116 zu -2112.

$$x=\frac{-46±\sqrt{4}}{2\times 16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 4.

$$x=\frac{-46±2}{2\times 16}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 16.

$$x=\frac{-46±2}{32}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-46±2}{32}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -46 zu 2.

$$x=-\frac{44}{32}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-44}{32} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{11}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-46±2}{32}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2 von -46.

$$x=-\frac{48}{32}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-48}{32} um den niedrigsten Term, indem Sie 16 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-\frac{11}{8} x=-\frac{3}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

\left(4x+6\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$16x^{2}+48x+36=2x+3$$

Subtrahieren Sie 2x von beiden Seiten.

$$16x^{2}+48x+36-2x=3$$

Kombinieren Sie 48x und -2x, um 46x zu erhalten.

$$16x^{2}+46x+36=3$$

Subtrahieren Sie 36 von beiden Seiten.

$$16x^{2}+46x=3-36$$

Subtrahieren Sie 36 von 3, um -33 zu erhalten.

$$16x^{2}+46x=-33$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 16.

$$\frac{16x^{2}+46x}{16}=-\frac{33}{16}$$

Division durch 16 macht die Multiplikation mit 16 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{46}{16}x=-\frac{33}{16}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{46}{16} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}+\frac{23}{8}x=-\frac{33}{16}$$

Dividieren Sie \frac{23}{8}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{23}{16} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{23}{16} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{23}{8}x+\left(\frac{23}{16}\right)^{2}=-\frac{33}{16}+\left(\frac{23}{16}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{23}{16}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{23}{8}x+\frac{529}{256}=-\frac{33}{16}+\frac{529}{256}$$

Addieren Sie -\frac{33}{16} zu \frac{529}{256}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{23}{8}x+\frac{529}{256}=\frac{1}{256}$$

Faktor x^{2}+\frac{23}{8}x+\frac{529}{256}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x+\frac{23}{16}\right)^{2}=\frac{1}{256}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{23}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{256}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{23}{16}=\frac{1}{16} x+\frac{23}{16}=-\frac{1}{16}$$

\frac{23}{16} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=-\frac{11}{8} x=-\frac{3}{2}$$