(4sqrt{3}+frac{xsqrt{3}}{2})^2+x^2/4=156 lösen

$$( 4 \sqrt { 3 } + \frac { x \sqrt { 3 } } { 2 } ) ^ { 2 } + \frac { x ^ { 2 } } { 4 } = 156$$

Nach x auflösen

$$x=-18$$

$$x=6$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 4.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Das Quadrat von \sqrt{3} ist 3.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Multiplizieren Sie 16 und 3, um 48 zu erhalten.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Den größten gemeinsamen Faktor 2 in 8 und 2 aufheben.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Um \frac{x\sqrt{3}}{2} zu potenzieren, potenzieren Sie sowohl den Zähler als auch den Nenner, und dividieren Sie dann.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Um Ausdrücke zu addieren oder subtrahieren, erweitern Sie sie, um ihre Nenner gleichnamig zu machen. Multiplizieren Sie 48 mit \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Da \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} und \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} denselben Nenner haben, addieren Sie diese, indem Sie ihre Zähler addieren.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 4 mit \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3} zu multiplizieren.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Potenzieren Sie 2 mit 2, und erhalten Sie 4.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Multiplizieren Sie 48 und 4, um 192 zu erhalten.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Erweitern Sie \left(x\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Das Quadrat von \sqrt{3} ist 3.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Potenzieren Sie 2 mit 2, und erhalten Sie 4.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Drücken Sie 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} als Einzelbruch aus.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Heben Sie 4 und 4 auf.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Das Quadrat von \sqrt{3} ist 3.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

Multiplizieren Sie 16 und 3, um 48 zu erhalten.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

Kombinieren Sie x^{2}\times 3 und x^{2}, um 4x^{2} zu erhalten.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

Subtrahieren Sie 624 von beiden Seiten.

$$192+4x^{2}+48x-624=0$$

Subtrahieren Sie 624 von 192, um -432 zu erhalten.

$$-432+4x^{2}+48x=0$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$-108+x^{2}+12x=0$$

Ordnen Sie das Polynom neu an, um es in die Standardform zu bringen. Platzieren Sie die Terme in der Reihenfolge von der höchsten zur niedrigsten Potenz.

$$x^{2}+12x-108=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx-108 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=12 ab=1\left(-108\right)=-108$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -108 ergeben.

$$-1,108 -2,54 -3,36 -4,27 -6,18 -9,12$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+108=107 -2+54=52 -3+36=33 -4+27=23 -6+18=12 -9+12=3$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 12 ergibt.

$$a=-6 b=18$$

x^{2}+12x-108 als \left(x^{2}-6x\right)+\left(18x-108\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(18x-108\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 18 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-6\right)+18\left(x-6\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-6 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-6\right)\left(x+18\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-6=0 und x+18=0.

$$x=6 x=-18$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 4.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Das Quadrat von \sqrt{3} ist 3.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Multiplizieren Sie 16 und 3, um 48 zu erhalten.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Den größten gemeinsamen Faktor 2 in 8 und 2 aufheben.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Um \frac{x\sqrt{3}}{2} zu potenzieren, potenzieren Sie sowohl den Zähler als auch den Nenner, und dividieren Sie dann.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Um Ausdrücke zu addieren oder subtrahieren, erweitern Sie sie, um ihre Nenner gleichnamig zu machen. Multiplizieren Sie 48 mit \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Da \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} und \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} denselben Nenner haben, addieren Sie diese, indem Sie ihre Zähler addieren.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 4 mit \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3} zu multiplizieren.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Potenzieren Sie 2 mit 2, und erhalten Sie 4.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Multiplizieren Sie 48 und 4, um 192 zu erhalten.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Erweitern Sie \left(x\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Das Quadrat von \sqrt{3} ist 3.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Potenzieren Sie 2 mit 2, und erhalten Sie 4.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Drücken Sie 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} als Einzelbruch aus.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Heben Sie 4 und 4 auf.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Das Quadrat von \sqrt{3} ist 3.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

Multiplizieren Sie 16 und 3, um 48 zu erhalten.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

Kombinieren Sie x^{2}\times 3 und x^{2}, um 4x^{2} zu erhalten.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

Subtrahieren Sie 624 von beiden Seiten.

$$192+4x^{2}+48x-624=0$$

Subtrahieren Sie 624 von 192, um -432 zu erhalten.

$$-432+4x^{2}+48x=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$4x^{2}+48x-432=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 4, b durch 48 und c durch -432, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 4\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

48 zum Quadrat.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 4\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-16\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit -432.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304+6912}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 2304 zu 6912.

$$x=\frac{-48±\sqrt{9216}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 9216.

$$x=\frac{-48±96}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$x=\frac{-48±96}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-48±96}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -48 zu 96.

$$x=\frac{48}{8}$$

Dividieren Sie 48 durch 8.

$$x=6$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-48±96}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 96 von -48.

$$x=-\frac{144}{8}$$

Dividieren Sie -144 durch 8.

$$x=-18$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=6 x=-18$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 4.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Das Quadrat von \sqrt{3} ist 3.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Multiplizieren Sie 16 und 3, um 48 zu erhalten.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Den größten gemeinsamen Faktor 2 in 8 und 2 aufheben.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Um \frac{x\sqrt{3}}{2} zu potenzieren, potenzieren Sie sowohl den Zähler als auch den Nenner, und dividieren Sie dann.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Um Ausdrücke zu addieren oder subtrahieren, erweitern Sie sie, um ihre Nenner gleichnamig zu machen. Multiplizieren Sie 48 mit \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Da \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} und \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} denselben Nenner haben, addieren Sie diese, indem Sie ihre Zähler addieren.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 4 mit \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3} zu multiplizieren.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Potenzieren Sie 2 mit 2, und erhalten Sie 4.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Multiplizieren Sie 48 und 4, um 192 zu erhalten.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Erweitern Sie \left(x\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Das Quadrat von \sqrt{3} ist 3.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Potenzieren Sie 2 mit 2, und erhalten Sie 4.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Drücken Sie 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} als Einzelbruch aus.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Heben Sie 4 und 4 auf.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Das Quadrat von \sqrt{3} ist 3.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

Multiplizieren Sie 16 und 3, um 48 zu erhalten.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

Kombinieren Sie x^{2}\times 3 und x^{2}, um 4x^{2} zu erhalten.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

Subtrahieren Sie 192 von beiden Seiten.

$$4x^{2}+48x=624-192$$

Subtrahieren Sie 192 von 624, um 432 zu erhalten.

$$4x^{2}+48x=432$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$\frac{4x^{2}+48x}{4}=\frac{432}{4}$$

Division durch 4 macht die Multiplikation mit 4 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{48}{4}x=\frac{432}{4}$$

Dividieren Sie 48 durch 4.

$$x^{2}+12x=\frac{432}{4}$$

Dividieren Sie 432 durch 4.

$$x^{2}+12x=108$$

Dividieren Sie 12, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um 6 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von 6 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+12x+6^{2}=108+6^{2}$$

6 zum Quadrat.

$$x^{2}+12x+36=108+36$$

Addieren Sie 108 zu 36.

$$x^{2}+12x+36=144$$

Faktor x^{2}+12x+36. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+6\right)^{2}=144$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{144}$$

Vereinfachen.

$$x+6=12 x+6=-12$$

6 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=6 x=-18$$