(3x-5)(x+2)leqx^2 lösen

$$( 3 x - 5 ) ( x + 2 ) \leq x ^ { 2 }$$

Für x lösen

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{5}{2},2\end{bmatrix}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 3x-5 mit x+2 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$3x^{2}+x-10\leq x^{2}$$

Subtrahieren Sie x^{2} von beiden Seiten.

$$3x^{2}+x-10-x^{2}\leq 0$$

Kombinieren Sie 3x^{2} und -x^{2}, um 2x^{2} zu erhalten.

$$2x^{2}+x-10\leq 0$$

Um die Ungleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite. Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$2x^{2}+x-10=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch 1 und c durch -10.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-10\right)}}{2\times 2}$$

Berechnungen ausführen.

$$x=\frac{-1±9}{4}$$

Lösen Sie die Gleichung x=\frac{-1±9}{4}, wenn ± Plus ist und wenn ± minus ist.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$

Die Ungleichung umschreiben, indem Sie die erhaltenen Lösungen verwenden.

$$2\left(x-2\right)\left(x+\frac{5}{2}\right)\leq 0$$

Damit das Produkt ≤0 wird, muss einer der Werte x-2 und x+\frac{5}{2} ≥0 sein, und die andere muss ≤0 sein. Betrachten Sie den Fall, wenn x-2\geq 0 und x+\frac{5}{2}\leq 0.

$$x-2\geq 0 x+\frac{5}{2}\leq 0$$

Dies ist falsch für alle x.

$$x\in \emptyset$$

Betrachten Sie den Fall, wenn x-2\leq 0 und x+\frac{5}{2}\geq 0.

$$x+\frac{5}{2}\geq 0 x-2\leq 0$$

Die Lösung, die beide Ungleichungen erfüllt, lautet x\in \left[-\frac{5}{2},2\right].

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{5}{2},2\end{bmatrix}$$

Die endgültige Lösung ist die Vereinigung der erhaltenen Lösungen.

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{5}{2},2\end{bmatrix}$$