(3x-4)^2-(x+3)^2=0 lösen

$$( 3 x - 4 ) ^ { 2 } - ( x + 3 ) ^ { 2 } = 0$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3,5$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

\left(3x-4\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$9x^{2}-24x+16-\left(x+3\right)^{2}=0$$

\left(x+3\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$9x^{2}-24x+16-\left(x^{2}+6x+9\right)=0$$

Um das Gegenteil von "x^{2}+6x+9" zu finden, suchen Sie nach dem Gegenteil jedes Terms.

$$9x^{2}-24x+16-x^{2}-6x-9=0$$

Kombinieren Sie 9x^{2} und -x^{2}, um 8x^{2} zu erhalten.

$$8x^{2}-24x+16-6x-9=0$$

Kombinieren Sie -24x und -6x, um -30x zu erhalten.

$$8x^{2}-30x+16-9=0$$

Subtrahieren Sie 9 von 16, um 7 zu erhalten.

$$8x^{2}-30x+7=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 8x^{2}+ax+bx+7 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-30 ab=8\times 7=56$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 56 ergeben.

$$-1,-56 -2,-28 -4,-14 -7,-8$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-56=-57 -2-28=-30 -4-14=-18 -7-8=-15$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -30 ergibt.

$$a=-28 b=-2$$

8x^{2}-30x+7 als \left(8x^{2}-28x\right)+\left(-2x+7\right) umschreiben.

$$\left(8x^{2}-28x\right)+\left(-2x+7\right)$$

Klammern Sie 4x in der ersten und -1 in der zweiten Gruppe aus.

$$4x\left(2x-7\right)-\left(2x-7\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 2x-7 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(2x-7\right)\left(4x-1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 2x-7=0 und 4x-1=0.

$$x=\frac{7}{2} x=\frac{1}{4}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

\left(3x-4\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$9x^{2}-24x+16-\left(x+3\right)^{2}=0$$

\left(x+3\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$9x^{2}-24x+16-\left(x^{2}+6x+9\right)=0$$

Um das Gegenteil von "x^{2}+6x+9" zu finden, suchen Sie nach dem Gegenteil jedes Terms.

$$9x^{2}-24x+16-x^{2}-6x-9=0$$

Kombinieren Sie 9x^{2} und -x^{2}, um 8x^{2} zu erhalten.

$$8x^{2}-24x+16-6x-9=0$$

Kombinieren Sie -24x und -6x, um -30x zu erhalten.

$$8x^{2}-30x+16-9=0$$

Subtrahieren Sie 9 von 16, um 7 zu erhalten.

$$8x^{2}-30x+7=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 8, b durch -30 und c durch 7, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 8\times 7}}{2\times 8}$$

-30 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 8\times 7}}{2\times 8}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 8.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-32\times 7}}{2\times 8}$$

Multiplizieren Sie -32 mit 7.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-224}}{2\times 8}$$

Addieren Sie 900 zu -224.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{676}}{2\times 8}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 676.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±26}{2\times 8}$$

Das Gegenteil von -30 ist 30.

$$x=\frac{30±26}{2\times 8}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 8.

$$x=\frac{30±26}{16}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{30±26}{16}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 30 zu 26.

$$x=\frac{56}{16}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{56}{16} um den niedrigsten Term, indem Sie 8 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{7}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{30±26}{16}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 26 von 30.

$$x=\frac{4}{16}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{4}{16} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{1}{4}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{7}{2} x=\frac{1}{4}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

\left(3x-4\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$9x^{2}-24x+16-\left(x+3\right)^{2}=0$$

\left(x+3\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$9x^{2}-24x+16-\left(x^{2}+6x+9\right)=0$$

Um das Gegenteil von "x^{2}+6x+9" zu finden, suchen Sie nach dem Gegenteil jedes Terms.

$$9x^{2}-24x+16-x^{2}-6x-9=0$$

Kombinieren Sie 9x^{2} und -x^{2}, um 8x^{2} zu erhalten.

$$8x^{2}-24x+16-6x-9=0$$

Kombinieren Sie -24x und -6x, um -30x zu erhalten.

$$8x^{2}-30x+16-9=0$$

Subtrahieren Sie 9 von 16, um 7 zu erhalten.

$$8x^{2}-30x+7=0$$

Subtrahieren Sie 7 von beiden Seiten. Jede Subtraktion von null ergibt ihre Negation.

$$8x^{2}-30x=-7$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 8.

$$\frac{8x^{2}-30x}{8}=-\frac{7}{8}$$

Division durch 8 macht die Multiplikation mit 8 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{8}\right)x=-\frac{7}{8}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-30}{8} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{15}{4}x=-\frac{7}{8}$$

Dividieren Sie -\frac{15}{4}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{15}{8} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{15}{8} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{15}{4}x+\left(-\frac{15}{8}\right)^{2}=-\frac{7}{8}+\left(-\frac{15}{8}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{15}{8}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{15}{4}x+\frac{225}{64}=-\frac{7}{8}+\frac{225}{64}$$

Addieren Sie -\frac{7}{8} zu \frac{225}{64}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{15}{4}x+\frac{225}{64}=\frac{169}{64}$$

Faktor x^{2}-\frac{15}{4}x+\frac{225}{64}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x-\frac{15}{8}\right)^{2}=\frac{169}{64}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{64}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{15}{8}=\frac{13}{8} x-\frac{15}{8}=-\frac{13}{8}$$

Addieren Sie \frac{15}{8} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{7}{2} x=\frac{1}{4}$$