(3x+1)^2=9 lösen

$$( 3 x + 1 ) ^ { 2 } = 9$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

$$x = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1,333333333$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

\left(3x+1\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$9x^{2}+6x+1=9$$

Subtrahieren Sie 9 von beiden Seiten.

$$9x^{2}+6x+1-9=0$$

Subtrahieren Sie 9 von 1, um -8 zu erhalten.

$$9x^{2}+6x-8=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 9x^{2}+ax+bx-8 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=6 ab=9\left(-8\right)=-72$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -72 ergeben.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 6 ergibt.

$$a=-6 b=12$$

9x^{2}+6x-8 als \left(9x^{2}-6x\right)+\left(12x-8\right) umschreiben.

$$\left(9x^{2}-6x\right)+\left(12x-8\right)$$

Klammern Sie 3x in der ersten und 4 in der zweiten Gruppe aus.

$$3x\left(3x-2\right)+4\left(3x-2\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3x-2 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3x-2\right)\left(3x+4\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 3x-2=0 und 3x+4=0.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{4}{3}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

\left(3x+1\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$9x^{2}+6x+1=9$$

Subtrahieren Sie 9 von beiden Seiten.

$$9x^{2}+6x+1-9=0$$

Subtrahieren Sie 9 von 1, um -8 zu erhalten.

$$9x^{2}+6x-8=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 9, b durch 6 und c durch -8, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 9\left(-8\right)}}{2\times 9}$$

6 zum Quadrat.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 9\left(-8\right)}}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 9.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-36\left(-8\right)}}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie -36 mit -8.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+288}}{2\times 9}$$

Addieren Sie 36 zu 288.

$$x=\frac{-6±\sqrt{324}}{2\times 9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 324.

$$x=\frac{-6±18}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 9.

$$x=\frac{-6±18}{18}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-6±18}{18}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -6 zu 18.

$$x=\frac{12}{18}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{12}{18} um den niedrigsten Term, indem Sie 6 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{2}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-6±18}{18}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 18 von -6.

$$x=-\frac{24}{18}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-24}{18} um den niedrigsten Term, indem Sie 6 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{4}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{4}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

\left(3x+1\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$9x^{2}+6x+1=9$$

Subtrahieren Sie 1 von beiden Seiten.

$$9x^{2}+6x=9-1$$

Subtrahieren Sie 1 von 9, um 8 zu erhalten.

$$9x^{2}+6x=8$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 9.

$$\frac{9x^{2}+6x}{9}=\frac{8}{9}$$

Division durch 9 macht die Multiplikation mit 9 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{6}{9}x=\frac{8}{9}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{6}{9} um den niedrigsten Term, indem Sie 3 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=\frac{8}{9}$$

Dividieren Sie \frac{2}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{1}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{1}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{8}{9}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{1}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{8+1}{9}$$

Addieren Sie \frac{8}{9} zu \frac{1}{9}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=1$$

Faktor x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=1$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{1}{3}=1 x+\frac{1}{3}=-1$$

\frac{1}{3} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{4}{3}$$