(23-x)^2+x^2=17^2 lösen

$$( 23 - x ) ^ { 2 } + x ^ { 2 } = 17 ^ { 2 }$$

Nach x auflösen

$$x=8$$

$$x=15$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

\left(23-x\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Kombinieren Sie x^{2} und x^{2}, um 2x^{2} zu erhalten.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Potenzieren Sie 17 mit 2, und erhalten Sie 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Subtrahieren Sie 289 von beiden Seiten.

$$529-46x+2x^{2}-289=0$$

Subtrahieren Sie 289 von 529, um 240 zu erhalten.

$$240-46x+2x^{2}=0$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$120-23x+x^{2}=0$$

Ordnen Sie das Polynom neu an, um es in die Standardform zu bringen. Platzieren Sie die Terme in der Reihenfolge von der höchsten zur niedrigsten Potenz.

$$x^{2}-23x+120=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx+120 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-23 ab=1\times 120=120$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 120 ergeben.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -23 ergibt.

$$a=-15 b=-8$$

x^{2}-23x+120 als \left(x^{2}-15x\right)+\left(-8x+120\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-15x\right)+\left(-8x+120\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und -8 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-15\right)-8\left(x-15\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-15 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-15\right)\left(x-8\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-15=0 und x-8=0.

$$x=15 x=8$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

\left(23-x\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Kombinieren Sie x^{2} und x^{2}, um 2x^{2} zu erhalten.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Potenzieren Sie 17 mit 2, und erhalten Sie 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Subtrahieren Sie 289 von beiden Seiten.

$$529-46x+2x^{2}-289=0$$

Subtrahieren Sie 289 von 529, um 240 zu erhalten.

$$240-46x+2x^{2}=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$2x^{2}-46x+240=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch -46 und c durch 240, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{\left(-46\right)^{2}-4\times 2\times 240}}{2\times 2}$$

-46 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-4\times 2\times 240}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-8\times 240}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit 240.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-1920}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 2116 zu -1920.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{196}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 196.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±14}{2\times 2}$$

Das Gegenteil von -46 ist 46.

$$x=\frac{46±14}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$x=\frac{46±14}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{46±14}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 46 zu 14.

$$x=\frac{60}{4}$$

Dividieren Sie 60 durch 4.

$$x=15$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{46±14}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 14 von 46.

$$x=\frac{32}{4}$$

Dividieren Sie 32 durch 4.

$$x=8$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=15 x=8$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

\left(23-x\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Kombinieren Sie x^{2} und x^{2}, um 2x^{2} zu erhalten.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Potenzieren Sie 17 mit 2, und erhalten Sie 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Subtrahieren Sie 529 von beiden Seiten.

$$-46x+2x^{2}=289-529$$

Subtrahieren Sie 529 von 289, um -240 zu erhalten.

$$-46x+2x^{2}=-240$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$2x^{2}-46x=-240$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$\frac{2x^{2}-46x}{2}=-\frac{240}{2}$$

Division durch 2 macht die Multiplikation mit 2 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{46}{2}\right)x=-\frac{240}{2}$$

Dividieren Sie -46 durch 2.

$$x^{2}-23x=-\frac{240}{2}$$

Dividieren Sie -240 durch 2.

$$x^{2}-23x=-120$$

Dividieren Sie -23, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{23}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{23}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-23x+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}=-120+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{23}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=-120+\frac{529}{4}$$

Addieren Sie -120 zu \frac{529}{4}.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=\frac{49}{4}$$

Faktor x^{2}-23x+\frac{529}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{23}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{23}{2}=-\frac{7}{2}$$

Addieren Sie \frac{23}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=15 x=8$$