(22+51x-10x^2)_{max} lösen

$$( 22 + 51 x - 10 x ^ { 2 } ) _ { \max }$$

Faktorisieren

$$-\left(2x-11\right)\left(5x+2\right)$$

Lösungsschritte

Ordnen Sie das Polynom neu an, um es in die Standardform zu bringen. Platzieren Sie die Terme in der Reihenfolge von der höchsten zur niedrigsten Potenz.

$$-10x^{2}+51x+22$$

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als -10x^{2}+ax+bx+22 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=51 ab=-10\times 22=-220$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -220 ergeben.

$$-1,220 -2,110 -4,55 -5,44 -10,22 -11,20$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+220=219 -2+110=108 -4+55=51 -5+44=39 -10+22=12 -11+20=9$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 51 ergibt.

$$a=55 b=-4$$

-10x^{2}+51x+22 als \left(-10x^{2}+55x\right)+\left(-4x+22\right) umschreiben.

$$\left(-10x^{2}+55x\right)+\left(-4x+22\right)$$

Klammern Sie -5x in der ersten und -2 in der zweiten Gruppe aus.

$$-5x\left(2x-11\right)-2\left(2x-11\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 2x-11 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(2x-11\right)\left(-5x-2\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$-10x^{2}+51x+22=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-51±\sqrt{51^{2}-4\left(-10\right)\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

51 zum Quadrat.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-4\left(-10\right)\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -10.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+40\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

Multiplizieren Sie 40 mit 22.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+880}}{2\left(-10\right)}$$

Addieren Sie 2601 zu 880.

$$x=\frac{-51±\sqrt{3481}}{2\left(-10\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 3481.

$$x=\frac{-51±59}{2\left(-10\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -10.

$$x=\frac{-51±59}{-20}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-51±59}{-20}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -51 zu 59.

$$x=\frac{8}{-20}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{8}{-20} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-51±59}{-20}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 59 von -51.

$$x=-\frac{110}{-20}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-110}{-20} um den niedrigsten Term, indem Sie 10 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{11}{2}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} -\frac{2}{5} und für x_{2} \frac{11}{2} ein.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\left(x-\left(-\frac{2}{5}\right)\right)\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\left(x+\frac{2}{5}\right)\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

Addieren Sie \frac{2}{5} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{-5x-2}{-5}\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{11}{2} von x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{-5x-2}{-5}\times \frac{-2x+11}{-2}$$

Multiplizieren Sie \frac{-5x-2}{-5} mit \frac{-2x+11}{-2}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)}{-5\left(-2\right)}$$

Multiplizieren Sie -5 mit -2.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)}{10}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 10 in -10 und 10 aufheben.

$$-10x^{2}+51x+22=-\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)$$

Auswerten

$$22+51x-10x^{2}$$