(20-3x)(12-x)=112 lösen

$$( 20 - 3 x ) ( 12 - x ) = 112$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2,666666667$$

$$x=16$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 20-3x mit 12-x zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$240-56x+3x^{2}=112$$

Subtrahieren Sie 112 von beiden Seiten.

$$240-56x+3x^{2}-112=0$$

Subtrahieren Sie 112 von 240, um 128 zu erhalten.

$$128-56x+3x^{2}=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$3x^{2}-56x+128=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch -56 und c durch 128, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{\left(-56\right)^{2}-4\times 3\times 128}}{2\times 3}$$

-56 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136-4\times 3\times 128}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136-12\times 128}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit 128.

$$x=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136-1536}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 3136 zu -1536.

$$x=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{1600}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 1600.

$$x=\frac{-\left(-56\right)±40}{2\times 3}$$

Das Gegenteil von -56 ist 56.

$$x=\frac{56±40}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$x=\frac{56±40}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{56±40}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 56 zu 40.

$$x=\frac{96}{6}$$

Dividieren Sie 96 durch 6.

$$x=16$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{56±40}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 40 von 56.

$$x=\frac{16}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{16}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{8}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=16 x=\frac{8}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 20-3x mit 12-x zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$240-56x+3x^{2}=112$$

Subtrahieren Sie 240 von beiden Seiten.

$$-56x+3x^{2}=112-240$$

Subtrahieren Sie 240 von 112, um -128 zu erhalten.

$$-56x+3x^{2}=-128$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$3x^{2}-56x=-128$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3x^{2}-56x}{3}=-\frac{128}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{56}{3}x=-\frac{128}{3}$$

Dividieren Sie -\frac{56}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{28}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{28}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{56}{3}x+\left(-\frac{28}{3}\right)^{2}=-\frac{128}{3}+\left(-\frac{28}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{28}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{56}{3}x+\frac{784}{9}=-\frac{128}{3}+\frac{784}{9}$$

Addieren Sie -\frac{128}{3} zu \frac{784}{9}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{56}{3}x+\frac{784}{9}=\frac{400}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{56}{3}x+\frac{784}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{28}{3}\right)^{2}=\frac{400}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{28}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{400}{9}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{28}{3}=\frac{20}{3} x-\frac{28}{3}=-\frac{20}{3}$$

Addieren Sie \frac{28}{3} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=16 x=\frac{8}{3}$$