(20-3x)(12-2x)=112 lösen

$$( 20 - 3 x ) ( 12 - 2 x ) = 112$$

Nach x auflösen

$$x=2$$

$$x = \frac{32}{3} = 10\frac{2}{3} \approx 10,666666667$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 20-3x mit 12-2x zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$240-76x+6x^{2}=112$$

Subtrahieren Sie 112 von beiden Seiten.

$$240-76x+6x^{2}-112=0$$

Subtrahieren Sie 112 von 240, um 128 zu erhalten.

$$128-76x+6x^{2}=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$6x^{2}-76x+128=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 6, b durch -76 und c durch 128, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-76\right)±\sqrt{\left(-76\right)^{2}-4\times 6\times 128}}{2\times 6}$$

-76 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-76\right)±\sqrt{5776-4\times 6\times 128}}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 6.

$$x=\frac{-\left(-76\right)±\sqrt{5776-24\times 128}}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie -24 mit 128.

$$x=\frac{-\left(-76\right)±\sqrt{5776-3072}}{2\times 6}$$

Addieren Sie 5776 zu -3072.

$$x=\frac{-\left(-76\right)±\sqrt{2704}}{2\times 6}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 2704.

$$x=\frac{-\left(-76\right)±52}{2\times 6}$$

Das Gegenteil von -76 ist 76.

$$x=\frac{76±52}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 6.

$$x=\frac{76±52}{12}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{76±52}{12}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 76 zu 52.

$$x=\frac{128}{12}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{128}{12} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{32}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{76±52}{12}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 52 von 76.

$$x=\frac{24}{12}$$

Dividieren Sie 24 durch 12.

$$x=2$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{32}{3} x=2$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 20-3x mit 12-2x zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$240-76x+6x^{2}=112$$

Subtrahieren Sie 240 von beiden Seiten.

$$-76x+6x^{2}=112-240$$

Subtrahieren Sie 240 von 112, um -128 zu erhalten.

$$-76x+6x^{2}=-128$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$6x^{2}-76x=-128$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 6.

$$\frac{6x^{2}-76x}{6}=-\frac{128}{6}$$

Division durch 6 macht die Multiplikation mit 6 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{76}{6}\right)x=-\frac{128}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-76}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{38}{3}x=-\frac{128}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-128}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{38}{3}x=-\frac{64}{3}$$

Dividieren Sie -\frac{38}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{19}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{19}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{38}{3}x+\left(-\frac{19}{3}\right)^{2}=-\frac{64}{3}+\left(-\frac{19}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{19}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{38}{3}x+\frac{361}{9}=-\frac{64}{3}+\frac{361}{9}$$

Addieren Sie -\frac{64}{3} zu \frac{361}{9}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{38}{3}x+\frac{361}{9}=\frac{169}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{38}{3}x+\frac{361}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{19}{3}\right)^{2}=\frac{169}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{9}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{19}{3}=\frac{13}{3} x-\frac{19}{3}=-\frac{13}{3}$$

Addieren Sie \frac{19}{3} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{32}{3} x=2$$