(2y+3)^2+y^2=4 lösen

$$( 2 y + 3 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 4$$

Nach y auflösen

$$y=\frac{\sqrt{11}-6}{5}\approx -0,536675042$$

$$y=\frac{-\sqrt{11}-6}{5}\approx -1,863324958$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

\left(2y+3\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$4y^{2}+12y+9+y^{2}=4$$

Kombinieren Sie 4y^{2} und y^{2}, um 5y^{2} zu erhalten.

$$5y^{2}+12y+9=4$$

Subtrahieren Sie 4 von beiden Seiten.

$$5y^{2}+12y+9-4=0$$

Subtrahieren Sie 4 von 9, um 5 zu erhalten.

$$5y^{2}+12y+5=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 5, b durch 12 und c durch 5, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 5\times 5}}{2\times 5}$$

12 zum Quadrat.

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 5\times 5}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-20\times 5}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -20 mit 5.

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-100}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 144 zu -100.

$$y=\frac{-12±\sqrt{44}}{2\times 5}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 44.

$$y=\frac{-12±2\sqrt{11}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$y=\frac{-12±2\sqrt{11}}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{-12±2\sqrt{11}}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -12 zu 2\sqrt{11}.

$$y=\frac{2\sqrt{11}-12}{10}$$

Dividieren Sie -12+2\sqrt{11} durch 10.

$$y=\frac{\sqrt{11}-6}{5}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{-12±2\sqrt{11}}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{11} von -12.

$$y=\frac{-2\sqrt{11}-12}{10}$$

Dividieren Sie -12-2\sqrt{11} durch 10.

$$y=\frac{-\sqrt{11}-6}{5}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$y=\frac{\sqrt{11}-6}{5} y=\frac{-\sqrt{11}-6}{5}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

\left(2y+3\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$4y^{2}+12y+9+y^{2}=4$$

Kombinieren Sie 4y^{2} und y^{2}, um 5y^{2} zu erhalten.

$$5y^{2}+12y+9=4$$

Subtrahieren Sie 9 von beiden Seiten.

$$5y^{2}+12y=4-9$$

Subtrahieren Sie 9 von 4, um -5 zu erhalten.

$$5y^{2}+12y=-5$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$\frac{5y^{2}+12y}{5}=-\frac{5}{5}$$

Division durch 5 macht die Multiplikation mit 5 rückgängig.

$$y^{2}+\frac{12}{5}y=-\frac{5}{5}$$

Dividieren Sie -5 durch 5.

$$y^{2}+\frac{12}{5}y=-1$$

Dividieren Sie \frac{12}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{6}{5} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{6}{5} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$y^{2}+\frac{12}{5}y+\left(\frac{6}{5}\right)^{2}=-1+\left(\frac{6}{5}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{6}{5}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$y^{2}+\frac{12}{5}y+\frac{36}{25}=-1+\frac{36}{25}$$

Addieren Sie -1 zu \frac{36}{25}.

$$y^{2}+\frac{12}{5}y+\frac{36}{25}=\frac{11}{25}$$

Faktor y^{2}+\frac{12}{5}y+\frac{36}{25}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(y+\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{11}{25}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(y+\frac{6}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{11}{25}}$$

Vereinfachen.

$$y+\frac{6}{5}=\frac{\sqrt{11}}{5} y+\frac{6}{5}=-\frac{\sqrt{11}}{5}$$

\frac{6}{5} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$y=\frac{\sqrt{11}-6}{5} y=\frac{-\sqrt{11}-6}{5}$$