(2x-3)^2-(x+5)^2=-23 lösen

$$( 2 x - 3 ) ^ { 2 } - ( x + 5 ) ^ { 2 } = - 23$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

$$x=7$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

\left(2x-3\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

\left(x+5\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

Um das Gegenteil von "x^{2}+10x+25" zu finden, suchen Sie nach dem Gegenteil jedes Terms.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Kombinieren Sie 4x^{2} und -x^{2}, um 3x^{2} zu erhalten.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Kombinieren Sie -12x und -10x, um -22x zu erhalten.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

Subtrahieren Sie 25 von 9, um -16 zu erhalten.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Auf beiden Seiten 23 addieren.

$$3x^{2}-22x-16+23=0$$

Addieren Sie -16 und 23, um 7 zu erhalten.

$$3x^{2}-22x+7=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 3x^{2}+ax+bx+7 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-22 ab=3\times 7=21$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 21 ergeben.

$$-1,-21 -3,-7$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-21=-22 -3-7=-10$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -22 ergibt.

$$a=-21 b=-1$$

3x^{2}-22x+7 als \left(3x^{2}-21x\right)+\left(-x+7\right) umschreiben.

$$\left(3x^{2}-21x\right)+\left(-x+7\right)$$

Klammern Sie 3x in der ersten und -1 in der zweiten Gruppe aus.

$$3x\left(x-7\right)-\left(x-7\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-7 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-7\right)\left(3x-1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-7=0 und 3x-1=0.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

\left(2x-3\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

\left(x+5\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

Um das Gegenteil von "x^{2}+10x+25" zu finden, suchen Sie nach dem Gegenteil jedes Terms.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Kombinieren Sie 4x^{2} und -x^{2}, um 3x^{2} zu erhalten.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Kombinieren Sie -12x und -10x, um -22x zu erhalten.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

Subtrahieren Sie 25 von 9, um -16 zu erhalten.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Auf beiden Seiten 23 addieren.

$$3x^{2}-22x-16+23=0$$

Addieren Sie -16 und 23, um 7 zu erhalten.

$$3x^{2}-22x+7=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch -22 und c durch 7, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

-22 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-12\times 7}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -12 mit 7.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-84}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 484 zu -84.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{400}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 400.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±20}{2\times 3}$$

Das Gegenteil von -22 ist 22.

$$x=\frac{22±20}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$x=\frac{22±20}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{22±20}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 22 zu 20.

$$x=\frac{42}{6}$$

Dividieren Sie 42 durch 6.

$$x=7$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{22±20}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 20 von 22.

$$x=\frac{2}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{2}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{1}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

\left(2x-3\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

\left(x+5\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

Um das Gegenteil von "x^{2}+10x+25" zu finden, suchen Sie nach dem Gegenteil jedes Terms.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Kombinieren Sie 4x^{2} und -x^{2}, um 3x^{2} zu erhalten.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Kombinieren Sie -12x und -10x, um -22x zu erhalten.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

Subtrahieren Sie 25 von 9, um -16 zu erhalten.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Auf beiden Seiten 16 addieren.

$$3x^{2}-22x=-23+16$$

Addieren Sie -23 und 16, um -7 zu erhalten.

$$3x^{2}-22x=-7$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3x^{2}-22x}{3}=-\frac{7}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x=-\frac{7}{3}$$

Dividieren Sie -\frac{22}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{11}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{11}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}=-\frac{7}{3}+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{11}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=-\frac{7}{3}+\frac{121}{9}$$

Addieren Sie -\frac{7}{3} zu \frac{121}{9}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=\frac{100}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{11}{3}=\frac{10}{3} x-\frac{11}{3}=-\frac{10}{3}$$

Addieren Sie \frac{11}{3} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$