(2x-1)^2=121 lösen

$$( 2 x - 1 ) ^ { 2 } = 121$$

Nach x auflösen

$$x=6$$

$$x=-5$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

\left(2x-1\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$4x^{2}-4x+1=121$$

Subtrahieren Sie 121 von beiden Seiten.

$$4x^{2}-4x+1-121=0$$

Subtrahieren Sie 121 von 1, um -120 zu erhalten.

$$4x^{2}-4x-120=0$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$x^{2}-x-30=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx-30 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-1 ab=1\left(-30\right)=-30$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -30 ergeben.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -1 ergibt.

$$a=-6 b=5$$

x^{2}-x-30 als \left(x^{2}-6x\right)+\left(5x-30\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(5x-30\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 5 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-6\right)+5\left(x-6\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-6 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-6\right)\left(x+5\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-6=0 und x+5=0.

$$x=6 x=-5$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

\left(2x-1\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$4x^{2}-4x+1=121$$

Subtrahieren Sie 121 von beiden Seiten.

$$4x^{2}-4x+1-121=0$$

Subtrahieren Sie 121 von 1, um -120 zu erhalten.

$$4x^{2}-4x-120=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 4, b durch -4 und c durch -120, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

-4 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit -120.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+1920}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 16 zu 1920.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{1936}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 1936.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±44}{2\times 4}$$

Das Gegenteil von -4 ist 4.

$$x=\frac{4±44}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$x=\frac{4±44}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{4±44}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 4 zu 44.

$$x=\frac{48}{8}$$

Dividieren Sie 48 durch 8.

$$x=6$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{4±44}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 44 von 4.

$$x=-\frac{40}{8}$$

Dividieren Sie -40 durch 8.

$$x=-5$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=6 x=-5$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

\left(2x-1\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$4x^{2}-4x+1=121$$

Subtrahieren Sie 1 von beiden Seiten.

$$4x^{2}-4x=121-1$$

Subtrahieren Sie 1 von 121, um 120 zu erhalten.

$$4x^{2}-4x=120$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{120}{4}$$

Division durch 4 macht die Multiplikation mit 4 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{120}{4}$$

Dividieren Sie -4 durch 4.

$$x^{2}-x=\frac{120}{4}$$

Dividieren Sie 120 durch 4.

$$x^{2}-x=30$$

Dividieren Sie -1, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=30+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=30+\frac{1}{4}$$

Addieren Sie 30 zu \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{121}{4}$$

Faktor x^{2}-x+\frac{1}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{11}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{11}{2}$$

Addieren Sie \frac{1}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=6 x=-5$$