(2x)^2-12(x+1)geq0 lösen

$$( 2 x ) ^ { 2 } - 12 ( x + 1 ) \geq 0$$

Für x lösen

$$x\in (-\infty,\frac{3-\sqrt{21}}{2}]\cup [\frac{\sqrt{21}+3}{2},\infty)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Erweitern Sie \left(2x\right)^{2}.

$$2^{2}x^{2}-12\left(x+1\right)\geq 0$$

Potenzieren Sie 2 mit 2, und erhalten Sie 4.

$$4x^{2}-12\left(x+1\right)\geq 0$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um -12 mit x+1 zu multiplizieren.

$$4x^{2}-12x-12\geq 0$$

Um die Ungleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite. Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$4x^{2}-12x-12=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 4, b durch -12 und c durch -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-12\right)}}{2\times 4}$$

Berechnungen ausführen.

$$x=\frac{12±4\sqrt{21}}{8}$$

Lösen Sie die Gleichung x=\frac{12±4\sqrt{21}}{8}, wenn ± Plus ist und wenn ± minus ist.

$$x=\frac{\sqrt{21}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{21}}{2}$$

Die Ungleichung umschreiben, indem Sie die erhaltenen Lösungen verwenden.

$$4\left(x-\frac{\sqrt{21}+3}{2}\right)\left(x-\frac{3-\sqrt{21}}{2}\right)\geq 0$$

Damit das Produkt ≥0 wird, müssen x-\frac{\sqrt{21}+3}{2} und x-\frac{3-\sqrt{21}}{2} beide ≤0 oder ≥0 sein. Erwägen Sie den Fall, wenn x-\frac{\sqrt{21}+3}{2} und x-\frac{3-\sqrt{21}}{2} beide ≤0 sind.

$$x-\frac{\sqrt{21}+3}{2}\leq 0 x-\frac{3-\sqrt{21}}{2}\leq 0$$

Die Lösung, die beide Ungleichungen erfüllt, lautet x\leq \frac{3-\sqrt{21}}{2}.

$$x\leq \frac{3-\sqrt{21}}{2}$$

Erwägen Sie den Fall, wenn x-\frac{\sqrt{21}+3}{2} und x-\frac{3-\sqrt{21}}{2} beide ≥0 sind.

$$x-\frac{3-\sqrt{21}}{2}\geq 0 x-\frac{\sqrt{21}+3}{2}\geq 0$$

Die Lösung, die beide Ungleichungen erfüllt, lautet x\geq \frac{\sqrt{21}+3}{2}.

$$x\geq \frac{\sqrt{21}+3}{2}$$

Die endgültige Lösung ist die Vereinigung der erhaltenen Lösungen.

$$x\leq \frac{3-\sqrt{21}}{2}\text{; }x\geq \frac{\sqrt{21}+3}{2}$$