(2x+4)^2-5x(7-3x)(7+3x)-(3x-2)^2-40x^2=-205 lösen

$$( 2 x + 4 ) ^ { 2 } - 5 x ( 7 - 3 x ) ( 7 + 3 x ) - ( 3 x - 2 ) ^ { 2 } - 40 x ^ { 2 } = - 205$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{1085}}{15} \approx 2,195955879$$

$$x = -\frac{\sqrt{1085}}{15} \approx -2,195955879$$

$$x=1$$

Lösungsschritte

\left(2x+4\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-\left(3x-2\right)^{2}-40x^{2}=-205$$

\left(3x-2\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-\left(9x^{2}-12x+4\right)-40x^{2}=-205$$

Um das Gegenteil von "9x^{2}-12x+4" zu finden, suchen Sie nach dem Gegenteil jedes Terms.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-9x^{2}+12x-4-40x^{2}=-205$$

Kombinieren Sie -9x^{2} und -40x^{2}, um -49x^{2} zu erhalten.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x-4=-205$$

Auf beiden Seiten 205 addieren.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x-4+205=0$$

Addieren Sie -4 und 205, um 201 zu erhalten.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x+201=0$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um -5x mit 7-3x zu multiplizieren.

$$4x^{2}+16x+16+\left(-35x+15x^{2}\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x+201=0$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um -35x+15x^{2} mit 7+3x zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$4x^{2}+16x+16-245x+45x^{3}-49x^{2}+12x+201=0$$

Kombinieren Sie 16x und -245x, um -229x zu erhalten.

$$4x^{2}-229x+16+45x^{3}-49x^{2}+12x+201=0$$

Kombinieren Sie 4x^{2} und -49x^{2}, um -45x^{2} zu erhalten.

$$-45x^{2}-229x+16+45x^{3}+12x+201=0$$

Kombinieren Sie -229x und 12x, um -217x zu erhalten.

$$-45x^{2}-217x+16+45x^{3}+201=0$$

Addieren Sie 16 und 201, um 217 zu erhalten.

$$-45x^{2}-217x+217+45x^{3}=0$$

Ordnen Sie die Gleichung neu an, um sie in die Standardform zu bringen. Platzieren Sie die Terme in der Reihenfolge von der höchsten zur niedrigsten Potenz.

$$45x^{3}-45x^{2}-217x+217=0$$

Laut dem Satz über rationale Nullstellen (Rational Root Theorem) haben alle rationalen Nullstellen eines Polynoms die Form \frac{p}{q}, wobei der konstante Ausdruck 217 durch p dividiert wird und der Leitkoeffizient 45 durch q. Listen Sie alle Kandidaten \frac{p}{q} auf.

$$±\frac{217}{45},±\frac{217}{15},±\frac{217}{9},±\frac{217}{5},±\frac{217}{3},±217,±\frac{31}{45},±\frac{31}{15},±\frac{31}{9},±\frac{31}{5},±\frac{31}{3},±31,±\frac{7}{45},±\frac{7}{15},±\frac{7}{9},±\frac{7}{5},±\frac{7}{3},±7,±\frac{1}{45},±\frac{1}{15},±\frac{1}{9},±\frac{1}{5},±\frac{1}{3},±1$$

Finden Sie eine solche Wurzel, indem Sie alle ganzzahligen Werte ausprobieren, beginnend mit dem gemäß dem absoluten Wert kleinsten. Wenn keine ganzzahligen Wurzeln gefunden werden, probieren Sie Brüche aus.

$$x=1$$

Bei Faktorisieren Lehrsatz ist x-k ein Faktor des Polynoms für jede Stamm k. Dividieren Sie 45x^{3}-45x^{2}-217x+217 durch x-1, um 45x^{2}-217 zu erhalten. Lösen Sie die Gleichung so auf, dass das Ergebnis gleich 0 ist.

$$45x^{2}-217=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 45, b durch 0 und c durch -217.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 45\left(-217\right)}}{2\times 45}$$

Berechnungen ausführen.

$$x=\frac{0±6\sqrt{1085}}{90}$$

Lösen Sie die Gleichung 45x^{2}-217=0, wenn ± Plus ist und wenn ± minus ist.

$$x=-\frac{\sqrt{1085}}{15} x=\frac{\sqrt{1085}}{15}$$

Alle gefundenen Lösungen auflisten

$$x=1 x=-\frac{\sqrt{1085}}{15} x=\frac{\sqrt{1085}}{15}$$