(2x+3)(x^2-16)+(x-4)(x+40)=2(x-4)(x^2-16) lösen

$$( 2 x + 3 ) ( x ^ { 2 } - 16 ) + ( x - 4 ) ( x + 40 ) = 2 ( x - 4 ) ( x ^ { 2 } - 16 )$$

Nach x auflösen

$$x=-7$$

$$x=4$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 2x+3 mit x^{2}-16 zu multiplizieren.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-4 mit x+40 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Kombinieren Sie 3x^{2} und x^{2}, um 4x^{2} zu erhalten.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Kombinieren Sie -32x und 36x, um 4x zu erhalten.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Subtrahieren Sie 160 von -48, um -208 zu erhalten.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 2 mit x-4 zu multiplizieren.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 2x-8 mit x^{2}-16 zu multiplizieren.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

Subtrahieren Sie 2x^{3} von beiden Seiten.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

Kombinieren Sie 2x^{3} und -2x^{3}, um 0 zu erhalten.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Auf beiden Seiten 32x addieren.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

Kombinieren Sie 4x und 32x, um 36x zu erhalten.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Auf beiden Seiten 8x^{2} addieren.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

Kombinieren Sie 4x^{2} und 8x^{2}, um 12x^{2} zu erhalten.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

Subtrahieren Sie 128 von beiden Seiten.

$$36x+12x^{2}-208-128=0$$

Subtrahieren Sie 128 von -208, um -336 zu erhalten.

$$36x+12x^{2}-336=0$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 12.

$$3x+x^{2}-28=0$$

Ordnen Sie das Polynom neu an, um es in die Standardform zu bringen. Platzieren Sie die Terme in der Reihenfolge von der höchsten zur niedrigsten Potenz.

$$x^{2}+3x-28=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx-28 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=3 ab=1\left(-28\right)=-28$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -28 ergeben.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 3 ergibt.

$$a=-4 b=7$$

x^{2}+3x-28 als \left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 7 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-4\right)+7\left(x-4\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-4 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-4\right)\left(x+7\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-4=0 und x+7=0.

$$x=4 x=-7$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 2x+3 mit x^{2}-16 zu multiplizieren.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-4 mit x+40 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Kombinieren Sie 3x^{2} und x^{2}, um 4x^{2} zu erhalten.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Kombinieren Sie -32x und 36x, um 4x zu erhalten.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Subtrahieren Sie 160 von -48, um -208 zu erhalten.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 2 mit x-4 zu multiplizieren.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 2x-8 mit x^{2}-16 zu multiplizieren.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

Subtrahieren Sie 2x^{3} von beiden Seiten.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

Kombinieren Sie 2x^{3} und -2x^{3}, um 0 zu erhalten.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Auf beiden Seiten 32x addieren.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

Kombinieren Sie 4x und 32x, um 36x zu erhalten.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Auf beiden Seiten 8x^{2} addieren.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

Kombinieren Sie 4x^{2} und 8x^{2}, um 12x^{2} zu erhalten.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

Subtrahieren Sie 128 von beiden Seiten.

$$36x+12x^{2}-208-128=0$$

Subtrahieren Sie 128 von -208, um -336 zu erhalten.

$$36x+12x^{2}-336=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$12x^{2}+36x-336=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 12, b durch 36 und c durch -336, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 12\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

36 zum Quadrat.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 12\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 12.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-48\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie -48 mit -336.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296+16128}}{2\times 12}$$

Addieren Sie 1296 zu 16128.

$$x=\frac{-36±\sqrt{17424}}{2\times 12}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 17424.

$$x=\frac{-36±132}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 12.

$$x=\frac{-36±132}{24}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-36±132}{24}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -36 zu 132.

$$x=\frac{96}{24}$$

Dividieren Sie 96 durch 24.

$$x=4$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-36±132}{24}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 132 von -36.

$$x=-\frac{168}{24}$$

Dividieren Sie -168 durch 24.

$$x=-7$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=4 x=-7$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 2x+3 mit x^{2}-16 zu multiplizieren.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um x-4 mit x+40 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Kombinieren Sie 3x^{2} und x^{2}, um 4x^{2} zu erhalten.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Kombinieren Sie -32x und 36x, um 4x zu erhalten.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Subtrahieren Sie 160 von -48, um -208 zu erhalten.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 2 mit x-4 zu multiplizieren.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 2x-8 mit x^{2}-16 zu multiplizieren.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

Subtrahieren Sie 2x^{3} von beiden Seiten.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

Kombinieren Sie 2x^{3} und -2x^{3}, um 0 zu erhalten.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Auf beiden Seiten 32x addieren.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

Kombinieren Sie 4x und 32x, um 36x zu erhalten.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Auf beiden Seiten 8x^{2} addieren.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

Kombinieren Sie 4x^{2} und 8x^{2}, um 12x^{2} zu erhalten.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

Auf beiden Seiten 208 addieren.

$$36x+12x^{2}=128+208$$

Addieren Sie 128 und 208, um 336 zu erhalten.

$$36x+12x^{2}=336$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$12x^{2}+36x=336$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 12.

$$\frac{12x^{2}+36x}{12}=\frac{336}{12}$$

Division durch 12 macht die Multiplikation mit 12 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{36}{12}x=\frac{336}{12}$$

Dividieren Sie 36 durch 12.

$$x^{2}+3x=\frac{336}{12}$$

Dividieren Sie 336 durch 12.

$$x^{2}+3x=28$$

Dividieren Sie 3, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{3}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{3}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{3}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

Addieren Sie 28 zu \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

Faktor x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

\frac{3}{2} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=4 x=-7$$